자연계열 3번

[3.1] 아래의 그림과 같이, 원 $\displaystyle M$이 선분 OP와 접하는 점을 $\displaystyle \mathrm P_0$, 선분 OQ와 접하는 점을 $\displaystyle \mathrm Q_0$, 그리고 원 $\displaystyle S$의 중심을 D라 하자. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OCQ}_0$과 삼각형 ODQ의 닮음을 이용하면, $\displaystyle a:b=r:R$에서 $\displaystyle \frac rR=\frac ab$임을 알 수 있다.

[3.2] 시각 $\displaystyle t=t_{\mathrm Q}$일 때, 점 A는 점 Q에 도착한다. 따라서, $\displaystyle \angle\mathrm{QOP}=\omega t_{\mathrm Q}$이며 $\displaystyle \angle\mathrm{QOD}=\frac12\angle\mathrm{QOP}=\frac{\omega t_{\mathrm Q}}2$이다. 삼각형 QOD에서 $\displaystyle \sin(\angle\mathrm{QOD})=\sin\left(\frac{\omega t_{\mathrm Q}}2\right)=\frac{\overline{\mathrm{QD}}}{\overline{\mathrm{OD}}}=\frac Rb=\frac12$이고 점 Q는 제1사분면에 위치하므로 $\displaystyle \frac{\omega t_{\mathrm Q}}2=\frac\pi6$, 즉 $\displaystyle t_{\mathrm Q}=\frac\pi{3\omega}$이다.

[3.3] 시각 $\displaystyle t$에서 선분 OC가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 $\displaystyle \omega t$이다. 따라서 시각 $\displaystyle t$에서의 선분 OA가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 $\displaystyle t=0$일 때의 각의 크기에서 $\displaystyle \omega t$만큼 증가한다. $\displaystyle t=0$에서 선분 OA가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 $\displaystyle \angle\mathrm{POD}=-\frac{\omega t_{\mathrm Q}}2=-\frac\pi6$이므로, 시각 $\displaystyle t$에서 선분 OA가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 $\displaystyle \omega t-\frac\pi6$이다.

선분 PQ와 $\displaystyle x$축이 만나는 점을 E라 하면, $\displaystyle 0\leq t\leq t_{\mathrm Q}$일 때 점 A의 $\displaystyle y$축 좌표는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OE}}\tan\left(\omega t-\frac\pi6\right)$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OE}}$를 위의 그림에서, 삼각형 OQE와 삼각형 ODQ의 닮음을 이용하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}:\overline{\mathrm{OD}}=\overline{\mathrm{OE}}:\overline{\mathrm{OQ}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}=\sqrt{b^2-R^2}=\sqrt3R$이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{OE}}=\frac{b^2-R^2}b=\frac{3R}2$이다. 따라서, 시각 $\displaystyle 0\leq t\leq t_{\mathrm Q}$에서 점 A의 $\displaystyle y$축 좌표는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OE}}\tan\left(\omega t-\frac\pi6\right)=\frac{3R}2\tan\left(\omega t-\frac\pi6\right)$이다.

[3.4] 시각 $\displaystyle t$에서 점 A가 선분 PQ 위를 움직이는 속력을 $\displaystyle v(t)$라 하면, 문제 [3.3]에서 구한 시각 $\displaystyle t$에서 점 A의 $\displaystyle y$축 좌표를 $\displaystyle y(t)$라 할 때, $\displaystyle v(t)=\left|\frac{dy(t)}{dt}\right|=\frac{3R\omega}2\sec^2\left(\omega t-\frac\pi6\right)$이다.

$\displaystyle \cos\left(\omega t-\frac\pi6\right)$는 $\displaystyle \cos$함수의 성질에 의하여 $\displaystyle 0<\omega t<\frac\pi6$ 구간에서 증가함수이며, $\displaystyle \frac\pi6<\omega t<\frac\pi3$ 구간에서 감소함수이다. 따라서, $\displaystyle \sec^2\left(\omega t-\frac\pi6\right)$는 $\displaystyle 0<t<\frac{t_{\mathrm Q}}2$ 구간에서 감소함수이며, $\displaystyle \frac{t_{\mathrm Q}}2<t<t_{\mathrm Q}$ 구간에서는 증가함수이므로, 점 A의 속력은 $\displaystyle 0<t<\frac{t_{\mathrm Q}}2$ 구간인 점 P에서 출발하여 $\displaystyle x$축에 가까워질수록 감소하며, 시간 $\displaystyle \frac{t_{\mathrm Q}}2<t<t_{\mathrm Q}$ 구간인 $\displaystyle x$축을 지나 점 Q에 가까워질수록 증가함을 알 수 있다.