자연계열 2번

[2.1] 구하고자 하는 적분값은$\displaystyle \int_0^1\left(x^r+x^{\frac1r}\right)\,dx=\Biggl[\frac1{r+1}x^{r+1}+\frac r{r+1}x^{\frac{r+1}r}\Biggr]_0^1=1$이다.

[2.2] 주어진 함수와 역함수가 표현하는 도형들 사이의 관계로부터 구하는 넓이는$\displaystyle A_1+A_2=\int_{\frac23}^1f(x)\,dx+\int_{\frac57}^1f^{-1}(x)\,dx=1-\frac23\times\frac57=\frac{11}{21}$이다.

[2.3] 구하는 넓이를 $\displaystyle A$라 하면$\displaystyle A=\int_e^{2e^2}f^{-1}(x)\,dx$이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac1{2\sqrt x}e^{\sqrt x}+\frac12e^{\sqrt x}>0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 증가하고 일대일대응이다. $\displaystyle f(1)=e$이고 $\displaystyle f(4)=2e^2$이다. 함수와 역함수 그래프들의 대칭성으로부터$\displaystyle A=\int_e^{2e^2}f^{-1}(x)\,dx=8e^2-e-\int_1^4f(x)\,dx$이다.

부분적분법을 이용하여 적분을 구하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_1^4f(x)\,dx&=\int_1^4\sqrt x e^{\sqrt x}\,dx=\Biggl[2xe^{\sqrt x}\Biggr]_1^4-2\int_1^4e^{\sqrt x}\,dx\\&=\Biggl[2xe^{\sqrt x}\Biggr]_1^4-2\left(\Biggl[2\sqrt x e^{\sqrt x}\Biggr]_1^4-\int_1^4\frac1{\sqrt x}e^{\sqrt x}\,dx\right)\\&=4e^2-2e\end{aligned}$이므로

$\displaystyle A=8e^2-e-(4e^2-2e)=4e^2+e$이다.