자연계열 1-2번

[1.2] $\displaystyle r=\frac2{\log_2k}$라 치환하면, 주어진 문제는 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{r^{n+1}}{999+r^n}$의 극한을 구하는 것이다. 문제의 조건에서 $\displaystyle k\geq2$이므로 $\displaystyle 0<r\leq2$임을 알 수 있다. 따라서 양의 실수 $\displaystyle r$에 대하여 극한값은 다음과 같다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{r^{n+1}}{999+r^n}=\begin{cases}0,&0<r<1\\\frac1{1000},&r=1\\2,&r=2\end{cases}$그러므로 짝수인 자연수 $\displaystyle k$에 대해 극한값은 $\displaystyle 0,\frac1{1000},2$이다.