수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 1-1번

서울과학기술대 2021학년도 수시 4차 자연계열 1-1번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2021su_4/jayeon_1_1

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서울과학기술대 2021학년도 수시 4차 자연계열 1-1번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2021su_4/jayeon_1_1

+4점 · sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\displaystyle \sin^2\theta=1-\cos^2\theta이고 sin⁡(θ+π2)=cos⁡θ\displaystyle \sin\left(\theta+\frac\pi2\right)=\cos\theta이므로 f(θ)=−acos⁡2θ+acos⁡θ+a+b+1=−a(cos⁡θ−12)2+5a4+b+1,−1≤cos⁡θ≤1\displaystyle \begin{aligned}f(\theta)&=-a\cos^2\theta+a\cos\theta+a+b+1\\&=-a\left(\cos\theta-\frac12\right)^2+\frac{5a}4+b+1,\quad-1\leq\cos\theta\leq1\end{aligned} 이다. +4점 · 따라서 cos⁡θ=12\displaystyle \cos\theta=\frac12일 때 최댓값 5a4+b+1=11\displaystyle \frac{5a}4+b+1=11을 갖고, cos⁡θ=−1\displaystyle \cos\theta=-1일 때 최솟값 −a+b+1=2\displaystyle -a+b+1=2를 가지므로 a=4\displaystyle a=4, b=5\displaystyle b=5이다. 따라서 ab=20\displaystyle ab=20이다.

[1.1] sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\displaystyle \sin^2\theta=1-\cos^2\theta이고 sin⁡(θ+π2)=cos⁡θ\displaystyle \sin\left(\theta+\frac\pi2\right)=\cos\theta이므로f(θ)=−acos⁡2θ+acos⁡θ+a+b+1=−a(cos⁡θ−12)2+5a4+b+1,−1≤cos⁡θ≤1\displaystyle \begin{aligned}f(\theta)&=-a\cos^2\theta+a\cos\theta+a+b+1\\&=-a\left(\cos\theta-\frac12\right)^2+\frac{5a}4+b+1,\quad-1\leq\cos\theta\leq1\end{aligned}이다. 따라서 cos⁡θ=12\displaystyle \cos\theta=\frac12일 때 최댓값 5a4+b+1=11\displaystyle \frac{5a}4+b+1=11을 갖고, cos⁡θ=−1\displaystyle \cos\theta=-1일 때 최솟값 −a+b+1=2\displaystyle -a+b+1=2를 가지므로 a=4\displaystyle a=4, b=5\displaystyle b=5이다. 따라서 ab=20\displaystyle ab=20이다.

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