자연계열 1-1번

[1.1] $\displaystyle \sin^2\theta=1-\cos^2\theta$이고 $\displaystyle \sin\left(\theta+\frac\pi2\right)=\cos\theta$이므로$\displaystyle \begin{aligned}f(\theta)&=-a\cos^2\theta+a\cos\theta+a+b+1\\&=-a\left(\cos\theta-\frac12\right)^2+\frac{5a}4+b+1,\quad-1\leq\cos\theta\leq1\end{aligned}$이다.

따라서 $\displaystyle \cos\theta=\frac12$일 때 최댓값 $\displaystyle \frac{5a}4+b+1=11$을 갖고, $\displaystyle \cos\theta=-1$일 때 최솟값 $\displaystyle -a+b+1=2$를 가지므로 $\displaystyle a=4$, $\displaystyle b=5$이다. 따라서 $\displaystyle ab=20$이다.