자연계열 3번

[3.1] 원의 중심 $\displaystyle (a,b)$가 $\displaystyle S$로부터 $\displaystyle r+1$ 이상 떨어져 있으면 원이 $\displaystyle S$와 만나지 않는다. 이렇게 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$를 꺼내는 경우의 수는 $\displaystyle \{l-2(r+1)\}^2$이다.

[3.2] $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$를 꺼내는 방법의 수는 $\displaystyle l^2$이고, 문항 [3.1]에서 원과 $\displaystyle S$가 만나지 않는 경우의 수는 $\displaystyle \{l-2(r+1)\}^2$이다. 따라서 원과 $\displaystyle S$가 만날 확률은$\displaystyle p=\frac{l^2-\{l-2(r+1)\}^2}{l^2}$이다.

[3.3] 문항 [3.2]에서 구한 확률에 $\displaystyle l=8$과 $\displaystyle r=1$을 대입하면 점 $\displaystyle (a,b)$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle 1$인 원이 $\displaystyle S$와 만날 확률은 $\displaystyle p=\frac34$이다. 주머니 C의 구슬의 개수를 확률변수 $\displaystyle X$라 하면, $\displaystyle X$는 이항분포 $\displaystyle \mathrm{B}\left(4,\frac34\right)$를 따른다. 따라서 $\displaystyle S$와 만나는 원의 개수가 $\displaystyle 3$개 이하일 확률은$\displaystyle P(X\leq3)=1-P(X=4)=1-{}_{4}\mathrm{C}_{4}\left(\frac34\right)^4=\frac{175}{256}$이다.

[3.4] 주머니 C의 구슬의 개수를 확률변수 $\displaystyle X$라 하면, $\displaystyle X$는 $\displaystyle \mathrm B\left(1200,\frac34\right)$을 따르므로 평균과 분산은 각각 다음과 같다.$\displaystyle \mu=np=1200\times\frac34=900,\quad\sigma^2=np(1-p)=1200\times\frac34\times\frac14=225=15^2$시행의 횟수가 충분히 크므로 이항분포와 정규분포의 관계를 이용하면 $\displaystyle X$는 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(900,15^2)$을 따름을 알 수 있다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}P(894\leq X\leq918)&=P\left(\frac{894-900}{15}\leq\frac{X-900}{15}\leq\frac{918-900}{15}\right)\\&=P(-0.4\leq Z\leq1.2)\end{aligned}$이고, 주어진 정규분포표에 의하여$\displaystyle P(894\leq X\leq918)=0.1554+0.3849=0.5403$이다.