자연계열 1-2번

[1.2] 로그의 성질에 의하여 $\displaystyle y=\log_{\frac1{\ln a}}x=-\log_{\ln a}x$이고 $\displaystyle \ln a>1$이므로 두 곡선은 $\displaystyle x=1$에서 만난다. 또 $\displaystyle x>1$이면 $\displaystyle \log_{\ln a}x>0$이고, 두 곡선은 $\displaystyle x$축에 대하여 대칭이다. 따라서 구하는 넓이 $\displaystyle A$는$\displaystyle A=2\int_1^{e^2}\log_{\ln a}x\,dx=\frac2{\ln(\ln a)}\int_1^{e^2}\ln x\,dx$이다.

여기서 부분적분을 이용하면$\displaystyle \int_1^{e^2}\ln x\,dx=\Biggl[x\ln x\Biggr]_1^{e^2}-\int_1^{e^2}1\,dx=2e^2-(e^2-1)=e^2+1$이다. 따라서 구하는 넓이는$\displaystyle A=\frac{2(e^2+1)}{\ln(\ln a)}$이다.