자연계열 2번

[2.1] $\displaystyle x=1,y=-1$을 제시문 (다)의 식에 대입하면$\displaystyle f(0)=\frac{f(1)+f(-1)}{1+7f(1)f(-1)}$이다. 제시문 (가)와 (나)의 조건을 이용하면$\displaystyle 0=\frac{\alpha+f(-1)}{1+7\alpha f(-1)}$이므로 $\displaystyle f(-1)=-\alpha$이다.

[2.2] $\displaystyle y=-x$라 하면$\displaystyle 0=f(0)=f(x+(-x))=\frac{f(x)+f(-x)}{1+7f(x)f(-x)}$이므로 $\displaystyle f(-x)=-f(x)$이고, $\displaystyle f$는 기함수이다.

따라서 $\displaystyle \int_{-1}^1f(x)\,dx=0$이다.

[2.3] 제시문 (다)의 조건을 도함수의 정의에 적용하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{f(x)+f(\Delta x)}{1+7f(x)f(\Delta x)}-f(x)}{\Delta x}$이고, 정리하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{\Delta x\to0}\left[\frac{f(\Delta x)}{\Delta x}\times\frac{1-7\{f(x)\}^2}{1+7f(x)f(\Delta x)}\right]$이다.

그런데 $\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(\Delta x)}{\Delta x}=f^{\prime}(0)$이고 $\displaystyle f(x)$는 연속이므로 $\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}f(\Delta x)=f(0)=0$이다.

따라서$\displaystyle f^{\prime}(x)=f^{\prime}(0)\times[-7\{f(x)\}^2+1]$이므로 $\displaystyle A=-7$, $\displaystyle B=0$, $\displaystyle C=1$이다.

[2.4] $\displaystyle x=y=1$이라 하면$\displaystyle f(2)=f(1+1)=\frac{f(1)+f(1)}{1+7f(1)f(1)}=\frac{2\alpha}{1+7\alpha^2}$이다.

문항 [2.3]의 결과에서 $\displaystyle \{f(x)\}^2=\frac17\{1-f^{\prime}(x)\}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^2(1+7\alpha^2)\{f(x)\}^2\,dx&=\frac{1+7\alpha^2}7\int_0^2\{1-f^{\prime}(x)\}\,dx\\&=\frac{1+7\alpha^2}7\Biggl[x-f(x)\Biggr]_0^2\\&=\frac{1+7\alpha^2}7\{2-f(2)\}\end{aligned}$이다. 그런데 $\displaystyle f(2)=\frac{2\alpha}{1+7\alpha^2}$이므로$\displaystyle \int_0^2(1+7\alpha^2)\{f(x)\}^2\,dx=\frac{1+7\alpha^2}7\left\{2-\frac{2\alpha}{1+7\alpha^2}\right\}=2\alpha^2-\frac27\alpha+\frac27$이다.