자연계열 1-3번

[1.3] $\displaystyle \theta=\angle\mathrm C$라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=10\sin\theta$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=10\cos\theta$이므로$\displaystyle l_1=10(\cos\theta+\sin\theta+1)$이다.

내접원의 반지름을 $\displaystyle r$이라 하면 $\displaystyle (10\cos\theta-r)+(10\sin\theta-r)=10$이므로$\displaystyle r=5(\cos\theta+\sin\theta-1)$이고$\displaystyle l_2=10\pi(\cos\theta+\sin\theta-1)$이다.

따라서$\displaystyle \frac{l_2}{l_1}=\frac{\pi(\cos\theta+\sin\theta-1)}{\cos\theta+\sin\theta+1},\quad0<\theta<\frac\pi2$이다. 삼각함수의 덧셈정리에 의하여$\displaystyle \cos\theta+\sin\theta=\sqrt2\left(\cos\theta\sin\frac\pi4+\sin\theta\cos\frac\pi4\right)=\sqrt2\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)$

이고 $\displaystyle \frac\pi4<\theta+\frac\pi4<\frac{3\pi}4$이다. $\displaystyle t=\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)$라 하면$\displaystyle \frac{l_2}{l_1}=\frac{\pi(\sqrt2t-1)}{\sqrt2t+1},\quad\frac1{\sqrt2}<t\leq1$이 최대가 되는 때를 구하면 된다. 그런데$\displaystyle \frac{l_2}{l_1}=\pi\left(1-\frac2{\sqrt2t+1}\right)$이므로 $\displaystyle t=\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)=1$일 때, 즉, $\displaystyle \theta=\frac\pi4$일 때 최대가 되고 이때 $\displaystyle \angle\mathrm A=\angle\mathrm C=\frac\pi4$이다.