자연계열 1-2번

[1.2] 점 P의 좌표를 $\displaystyle (a,0)$이라 하면 $\displaystyle a^3-8=0$이므로 $\displaystyle a=2$이다. 주어진 곡선의 방정식을 음함수 미분하면$\displaystyle 3x^2+y+xy^{\prime}+3y^2y^{\prime}=0$이므로 $\displaystyle (x,y)=(2,0)$을 대입하여 점 $\displaystyle (2,0)$에서의 접선의 기울기 $\displaystyle y^{\prime}=-6$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle l_1$의 방정식은 $\displaystyle y=-6x+12$이다. 직선 $\displaystyle l_1$과 $\displaystyle l_2$는 수직이므로 $\displaystyle l_2$의 기울기는 $\displaystyle \frac16$이 되고 다시 $\displaystyle l_2$는 점 P를 지나므로 $\displaystyle l_2$의 방정식은 $\displaystyle y=\frac16x-\frac13$이다. $\displaystyle l_1$과 $\displaystyle l_2$의 교점 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P}(2,0)$이고 $\displaystyle l_1$의 $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle 12$, $\displaystyle l_2$의 $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle -\frac13$이므로 직선 $\displaystyle l_1$와 $\displaystyle l_2$, $\displaystyle y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\left(12+\frac13\right)\times2=\frac{37}3$이다.