서울과학기술대 2022학년도 모의논술 자연계열 3번 해설

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

$\displaystyle 0<\alpha<\frac12$ 인 $\displaystyle \alpha$ 에 대하여 다음의 단계를 시행한다.

(가) 아래 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}_0\mathrm{B}_0\mathrm{C}_0\mathrm{D}_0$ 에 대하여 변 $\displaystyle \mathrm{A}_0\mathrm{B}_0$ 을 $\displaystyle \alpha:1-\alpha$ 로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm{A}_1$ , 변 $\displaystyle \mathrm{B}_0\mathrm{C}_0$ 을 $\displaystyle \alpha:1-\alpha$ 로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm{B}_1$ , 변 $\displaystyle \mathrm{C}_0\mathrm{D}_0$ 을 $\displaystyle \alpha:1-\alpha$ 로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm{C}_1$ , 변 $\displaystyle \mathrm{D}_0\mathrm{A}_0$ 을 $\displaystyle \alpha:1-\alpha$ 로 내분하는 점을 $\displaystyle \mathrm{D}_1$ 이라 하자.

(나) 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1\mathrm{D}_1$ 에 대하여 변 $\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{B}_1$ , $\displaystyle \mathrm{B}_1\mathrm{C}_1$ , $\displaystyle \mathrm{C}_1\mathrm{D}_1$ 및 $\displaystyle \mathrm{D}_1\mathrm{A}_1$ 을 $\displaystyle \alpha:1-\alpha$ 로 내분하는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{A}_2$ , $\displaystyle \mathrm{B}_2$ , $\displaystyle \mathrm{C}_2$ 및 $\displaystyle \mathrm{D}_2$ 라 하자.

(다) 이 과정을 반복하여 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}_{n-1}\mathrm{B}_{n-1}\mathrm{C}_{n-1}\mathrm{D}_{n-1}$ 에 대하여 각 변을 $\displaystyle \alpha:1-\alpha$ 로 내분하는 네 점을 연결하여 정사각형 $\displaystyle \mathrm{A}_n\mathrm{B}_n\mathrm{C}_n\mathrm{D}_n$ 을 얻을 수 있다. (단, $\displaystyle n$ 은 자연수이다.)

[3.1] $\displaystyle \theta=\angle\mathrm{A}_0\mathrm{D}_1\mathrm{A}_1$ , $\displaystyle t=\tan\theta$ 에 대하여 $\displaystyle \alpha$ 를 $\displaystyle t$ 에 관한 식으로 나타내시오.

[3.2] 변 $\displaystyle \mathrm{A}_{n-1}\mathrm{A}_n$ 의 길이를 $\displaystyle l_n$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$ 을 $\displaystyle t$ 에 관한 식으로 나타내시오.

[3.3] 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}_{n-1}\mathrm{A}_n\mathrm{D}_n$ 의 넓이를 $\displaystyle S_n$ 이라 할 때, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_{2n-1}=\frac2{13}$ 가 되는 $\displaystyle \alpha$ 를 구하시오.

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[3.1] $\displaystyle t=\tan\theta=\frac\alpha{1-\alpha}$ 이므로 $\displaystyle \alpha=\frac t{1+t}$ 이다.

[3.2] 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}_{n-1}\mathrm{A}_n\mathrm{D}_n$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}_{n-1}\mathrm{A}_n}:\overline{\mathrm{A}_n\mathrm{D}_n}=\alpha:\sqrt{2\alpha^2-2\alpha+1}$ 이므로 $\displaystyle \alpha\overline{\mathrm{A}_n\mathrm{D}_n}=\sqrt{2\alpha^2-2\alpha+1}\,\overline{\mathrm{A}_{n-1}\mathrm{A}_n}=\sqrt{2\alpha^2-2\alpha+1}\times l_n$ 이다. 또 $\displaystyle l_{n+1}=\overline{\mathrm{A}_n\mathrm{A}_{n+1}}=\alpha\overline{\mathrm{A}_n\mathrm{D}_n}$ 이므로 $\displaystyle l_{n+1}=\sqrt{2\alpha^2-2\alpha+1}\times l_n$ 이 된다. $\displaystyle l_1=\alpha$ 이므로 수열 $\displaystyle \{l_n\}$ 는 첫째항이 $\displaystyle \alpha$ , 공비가 $\displaystyle \sqrt{2\alpha^2-2\alpha+1}$ 인 등비수열이 된다. 이를 [3.1]에서의 관계식을 이용하여 $\displaystyle t$ 로 표현하면 $\displaystyle \alpha=\frac t{1+t},\quad\sqrt{2\alpha^2-2\alpha+1}=\frac{\sqrt{1+t^2}}{1+t}$ 이고 따라서 구하고자 하는 등비급수의 합은 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n=\frac t{1+t-\sqrt{1+t^2}}=\frac12(1+t+\sqrt{1+t^2})$ 이다.

[3.3] [3.2]에서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}_{n-1}\mathrm{A}_n\mathrm{D}_n$ 와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}_n\mathrm{A}_{n+1}\mathrm{D}_{n+1}$ 의 닮음비는 $\displaystyle 1:\sqrt{2\alpha^2-2\alpha+1}$ 이므로 넓이의 비는 $\displaystyle 1:(2\alpha^2-2\alpha+1)$ 이다. 따라서 수열 $\displaystyle \{S_{2n-1}\}$ 은 첫째항 $\displaystyle S_1$ 이 $\displaystyle \frac{\alpha(1-\alpha)}2$ , 공비가 $\displaystyle (2\alpha^2-2\alpha+1)^2$ 인 등비수열이다. 등비급수가 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_{2n-1}=\frac2{13}$ 을 만족해야 하므로 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_{2n-1}=\frac{\frac{\alpha(1-\alpha)}2}{1-(2\alpha^2-2\alpha+1)^2}=\frac1{8(\alpha^2-\alpha+1)}=\frac2{13}$ 을 풀면 $\displaystyle \alpha=\frac14,\frac34$ 이다. $\displaystyle \alpha$ 의 범위가 $\displaystyle 0<\alpha<\frac12$ 이므로 $\displaystyle \alpha=\frac14$ 이다.

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