자연계열 3번

[3.1] $\displaystyle t=\tan\theta=\frac\alpha{1-\alpha}$이므로 $\displaystyle \alpha=\frac t{1+t}$이다.

[3.2] 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}_{n-1}\mathrm{A}_n\mathrm{D}_n$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}_{n-1}\mathrm{A}_n}:\overline{\mathrm{A}_n\mathrm{D}_n}=\alpha:\sqrt{2\alpha^2-2\alpha+1}$이므로$\displaystyle \alpha\overline{\mathrm{A}_n\mathrm{D}_n}=\sqrt{2\alpha^2-2\alpha+1}\,\overline{\mathrm{A}_{n-1}\mathrm{A}_n}=\sqrt{2\alpha^2-2\alpha+1}\times l_n$이다. 또 $\displaystyle l_{n+1}=\overline{\mathrm{A}_n\mathrm{A}_{n+1}}=\alpha\overline{\mathrm{A}_n\mathrm{D}_n}$이므로 $\displaystyle l_{n+1}=\sqrt{2\alpha^2-2\alpha+1}\times l_n$이 된다. $\displaystyle l_1=\alpha$이므로 수열 $\displaystyle \{l_n\}$는 첫째항이 $\displaystyle \alpha$, 공비가 $\displaystyle \sqrt{2\alpha^2-2\alpha+1}$인 등비수열이 된다. 이를 [3.1]에서의 관계식을 이용하여 $\displaystyle t$로 표현하면$\displaystyle \alpha=\frac t{1+t},\quad\sqrt{2\alpha^2-2\alpha+1}=\frac{\sqrt{1+t^2}}{1+t}$이고 따라서 구하고자 하는 등비급수의 합은$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n=\frac t{1+t-\sqrt{1+t^2}}=\frac12(1+t+\sqrt{1+t^2})$이다.

[3.3] [3.2]에서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}_{n-1}\mathrm{A}_n\mathrm{D}_n$와 삼각형 $\displaystyle \mathrm{A}_n\mathrm{A}_{n+1}\mathrm{D}_{n+1}$의 닮음비는 $\displaystyle 1:\sqrt{2\alpha^2-2\alpha+1}$이므로 넓이의 비는 $\displaystyle 1:(2\alpha^2-2\alpha+1)$이다. 따라서 수열 $\displaystyle \{S_{2n-1}\}$은 첫째항 $\displaystyle S_1$이 $\displaystyle \frac{\alpha(1-\alpha)}2$, 공비가 $\displaystyle (2\alpha^2-2\alpha+1)^2$인 등비수열이다. 등비급수가 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_{2n-1}=\frac2{13}$을 만족해야 하므로$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_{2n-1}=\frac{\frac{\alpha(1-\alpha)}2}{1-(2\alpha^2-2\alpha+1)^2}=\frac1{8(\alpha^2-\alpha+1)}=\frac2{13}$을 풀면 $\displaystyle \alpha=\frac14,\frac34$이다. $\displaystyle \alpha$의 범위가 $\displaystyle 0<\alpha<\frac12$이므로 $\displaystyle \alpha=\frac14$이다.