자연계열 1-3번

[1.3] 자연수 $\displaystyle k$에 대하여,$\displaystyle \int_{-1}^1k^2x^{k-1}\,dx=\Biggl[kx^k\Biggr]_{-1}^1=\begin{cases}2k,&k\text{는 홀수}\\0,&k\text{는 짝수}\end{cases}$이다. 이로부터 구하는 정적분의 값은$\displaystyle \begin{aligned}\int_{-1}^1(1+4x+9x^2+\cdots+2022^2x^{2021})\,dx&=2(1+3+\cdots+2021)\\&=2\sum_{k=1}^{1011}(2k-1)\\&=2\left\{2\times\frac{1011\times(1011+1)}2-1011\right\}\\&=2\times1011^2=2044242\end{aligned}$이다.