자연계열 2번

[2.1] 교점은$\displaystyle \frac1{\sqrt3}x^3-ax^2+1=\frac1{\sqrt3}x^3+ax^2-1$일 때이므로 $\displaystyle x=\pm\frac1{\sqrt a}$이고, 이때 $\displaystyle y=\pm\frac1{a\sqrt{3a}}$이다. 따라서 교점의 좌표는$\displaystyle \left(\frac1{\sqrt a},\frac1{a\sqrt{3a}}\right)$, $\displaystyle \left(-\frac1{\sqrt a},-\frac1{a\sqrt{3a}}\right)$이다.

[2.2] $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$를 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=\sqrt3x^2-2ax,\quad g^{\prime}(x)=\sqrt3x^2+2ax$이다. 모든 교점에서 두 곡선의 접선이 수직이 되려면$\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}a-2\sqrt a\right)\times\left(\frac{\sqrt3}a+2\sqrt a\right)=-1$, $\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}a+2\sqrt a\right)\times\left(\frac{\sqrt3}a-2\sqrt a\right)=-1$이어야 한다. 정리하면 $\displaystyle \frac3{a^2}-4a=-1$이므로$\displaystyle 4a^3-a^2-3=(a-1)(4a^2+3a+3)=0$이어야 한다. 그런데 $\displaystyle 4a^2+3a+3\neq0$이므로 $\displaystyle a=1$이다.

[2.3] [2.2]에서 $\displaystyle a=1$이다. $\displaystyle \frac1{\sqrt3}x^3-x^2+1\geq\frac1{\sqrt3}x^3+x^2-1$이려면 $\displaystyle x^2\leq1$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)\geq g(x)$이기 위한 $\displaystyle x$값의 범위는 $\displaystyle -1\leq x\leq1$이다.

[2.4] $\displaystyle -1\leq x\leq1$이면 $\displaystyle f(x)\geq g(x)$이고, $\displaystyle x<-1$ 또는 $\displaystyle x>1$이면 $\displaystyle f(x)<g(x)$이므로 구하는 도형의 넓이 $\displaystyle A$는$\displaystyle \begin{aligned}A&=\int_{-2}^2|f(x)-g(x)|\,dx=\int_{-2}^2|-2x^2+2|\,dx\\&=\int_{-2}^{-1}(2x^2-2)\,dx+\int_{-1}^1(-2x^2+2)\,dx+\int_1^2(2x^2-2)\,dx=8\end{aligned}$이다.