자연계열 1-1번

[1.1] $\displaystyle b_1=1$이므로 $\displaystyle a_1=e$이다. $\displaystyle a_n^{b_n}=e$의 양변에 자연로그를 취하면 $\displaystyle b_n\ln a_n=1$이다. $\displaystyle \ln a_n=\frac1{b_n}$이고 $\displaystyle \left\{\frac1{b_n}\right\}$이 공차가 $\displaystyle \ln\frac23$인 등차수열이므로$\displaystyle \ln a_{n+1}=\ln a_n+\ln\frac23,\quad a_{n+1}=\frac23a_n$이다.

$\displaystyle \{a_n\}$은 첫째항이 $\displaystyle e$이고 공비가 $\displaystyle \frac23$인 등비수열이므로$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n=\frac e{1-\frac23}=3e$이다.