자연계열 1-2번

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서울과학기술대 2022학년도 수시 1차 자연계열 1-2번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2022su_1/jayeon_1_2

[문제 1] 다음 물음에 답하시오.

[1.2] 원점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 위치는 $\displaystyle x=f(t)=2\cos(at+b)+2$ ( $\displaystyle a>0$ , $\displaystyle 0\leq b\leq2\pi$ 인 상수)이다. 점 P의 시각 $\displaystyle t$ 에서의 속도 $\displaystyle v=f^{\prime}(t)$ 는 최댓값이 $\displaystyle 3$ 이고, 음이 아닌 모든 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여 $\displaystyle c(x-2)^2+2v^2=d$ ( $\displaystyle c,d$ 는 상수)가 성립할 때, $\displaystyle a+b+c+d$ 의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2022학년도 수시 1차 자연계열 1-2번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2022su_1/jayeon_1_2

+6점 · 즉 다음을 얻을 수 있다.

\displaystyle x=2\cos\left(\frac32t+\pi\right)+2=-2\cos\left(\frac32t\right)+2,\quad v=3\sin\left(\frac32t\right)

[1.2] $\displaystyle t=0$ 일 때 $\displaystyle x=0$ 이므로, $\displaystyle f(0)=2\cos b+2=0$ 이고 $\displaystyle b=\pi$ 이다. $\displaystyle v=f^{\prime}(t)=2a\sin at$ 의 최댓값은 $\displaystyle 2a$ 이므로 $\displaystyle a=\frac32$ 이다. 즉 $\displaystyle x=2\cos\left(\frac32t+\pi\right)+2=-2\cos\left(\frac32t\right)+2,\quad v=3\sin\left(\frac32t\right)$ 이다.

+6점

이를 $\displaystyle c(x-2)^2+2v^2=d$ 에 대입하면, $\displaystyle 4c\cos^2\left(\frac32t\right)+18\sin^2\left(\frac32t\right)=d$ 이다. $\displaystyle t=\frac\pi3$ 이면 $\displaystyle d=18$ , $\displaystyle t=0$ 이면 $\displaystyle 4c=d$ 즉 $\displaystyle c=\frac92$ 이다. 따라서 $\displaystyle a+b+c+d=\frac32+\pi+\frac92+18=\pi+24$ 이다.

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