자연계열 2번

[2.1] 점 A의 좌표는 $\displaystyle (\sqrt{25-t^2},t)$, 점 B의 좌표는 $\displaystyle (\sqrt{64-t^2},t)$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=5$이므로$\displaystyle \sqrt{64-t^2}-\sqrt{25-t^2}=5$이고 방정식을 풀면 $\displaystyle t=\frac{24}5$이다.

[2.2] 코사인법칙에 의해$\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}^2=\overline{\mathrm{OA}}^2+\overline{\mathrm{AB}}^2-2\overline{\mathrm{OA}}\,\overline{\mathrm{AB}}\cos\theta_1$$\displaystyle 64=25+25-2\times5\times5\cos\theta_1$이고 따라서 $\displaystyle \cos\theta_1=-\frac7{25}$이다. 여기서 $\displaystyle \sin\theta_1=\sqrt{1-\left(-\frac7{25}\right)^2}=\frac{24}{25}$이다.$\displaystyle \cos2\theta_2=\cos(\pi-\theta_1)=-\cos\theta_1=\frac7{25}$, $\displaystyle \cos(\theta_2+\theta_2)=2\cos\theta_2\cos\theta_2-1$이므로 $\displaystyle \cos^2\theta_2=\frac{16}{25}$이다.$\displaystyle \theta_2$는 예각이므로 $\displaystyle \cos\theta_2=\frac45$이다. 또 $\displaystyle \sin\theta_2=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35$이다.

따라서$\displaystyle \cos(\theta_1-\theta_2)=\cos\theta_1\cos\theta_2+\sin\theta_1\sin\theta_2=-\frac7{25}\times\frac45+\frac{24}{25}\times\frac35=\frac{44}{125}$이다.

[2.3] 사인법칙에 의해 삼각형 AOB의 외접원의 반지름의 길이는$\displaystyle \frac12\times\frac{\overline{\mathrm{OB}}}{\sin\theta_1}=\frac12\times\frac8{\frac{24}{25}}=\frac{25}6$이다.