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자연계열 3번

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서울과학기술대 2022학년도 수시 1차 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2022su_1/jayeon_3

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문제

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

아래 그림의 색칠한 부분과 같이 세 직선 x=−2\displaystyle x=-2, y=0\displaystyle y=0, y=2\displaystyle y=2와 곡선 y=4−x2\displaystyle y=\sqrt{4-x^2} (0≤x≤2\displaystyle 0\leq x\leq2)으로 둘러싸인 도형이 있다.

도형 둘레에 감긴 실의 끝 P와 접점 Q

(가) 길이가 6+π\displaystyle 6+\pi인 실의 한쪽 끝을 점 A(−2−23,0)\displaystyle \mathrm{A}(-2-2\sqrt3,0)에 고정하고, 다른 쪽 끝에는 연필 끝을 매달자. 도형의 둘레를 따라 실을 팽팽하게 당기면 연필 끝은 점 B(2,0)\displaystyle \mathrm{B}(2,0)에 놓인다.

(나) 곡선 y=4−x2\displaystyle y=\sqrt{4-x^2} (0≤x≤2\displaystyle 0\leq x\leq2) 위의 한 점을 Q, θ=∠QOB\displaystyle \theta=\angle\mathrm{QOB}라고 하자.

(다) 실을 팽팽하게 당기면서 움직일 때 연필 끝의 위치인 점 P가 그리는 도형을 생각하자.

[3.1] 점 Q의 좌표를 θ\displaystyle \theta에 대한 식으로 나타내시오.

[3.2] 연필이 매달린 실을 점 Q에서 곡선 y=4−x2\displaystyle y=\sqrt{4-x^2}의 접선 방향으로 팽팽하게 당겼을 때, 점 P의 좌표를 θ\displaystyle \theta에 대한 식으로 나타내시오.

[3.3] 문항 [3.2]에서 점 Q가 점 B에서 점 (0,2)\displaystyle (0,2)까지 곡선 y=4−x2\displaystyle y=\sqrt{4-x^2} 위를 움직일 때, 점 P가 그리는 도형의 길이를 구하시오.

[3.4] 점 P는 점 B에서 출발하여 x\displaystyle x축과 다시 만날 때까지 반시계방향으로 움직인다. 이때 점 P가 그리는 도형의 길이를 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2022학년도 수시 1차 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2022su_1/jayeon_3

+4점

[3.1] 점 Q의 좌표는 (2cos⁡θ,2sin⁡θ)\displaystyle (2\cos\theta,2\sin\theta)이다.

+2점

[3.2] PQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}는 호 QB의 길이와 같으므로 PQ‾=2θ\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=2\theta이다.

+6점

점 P에서 y\displaystyle y축에 내린 수선의 발을 H라고 하면, ∠QPH=π2−θ\displaystyle \angle\mathrm{QPH}=\frac\pi2-\theta이고 0≤θ≤π2\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac\pi2이므로x=2cos⁡θ+2θcos⁡(π2−θ)=2(cos⁡θ+θsin⁡θ)\displaystyle x=2\cos\theta+2\theta\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)=2(\cos\theta+\theta\sin\theta)y=2sin⁡θ−2θsin⁡(π2−θ)=2(sin⁡θ−θcos⁡θ)\displaystyle y=2\sin\theta-2\theta\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)=2(\sin\theta-\theta\cos\theta)이다. 따라서 점 P의 좌표는 (2(cos⁡θ+θsin⁡θ),2(sin⁡θ−θcos⁡θ))\displaystyle (2(\cos\theta+\theta\sin\theta),2(\sin\theta-\theta\cos\theta))이다.

+3점

[3.3] dxdθ=2θcos⁡θ\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=2\theta\cos\theta, dydθ=2θsin⁡θ\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=2\theta\sin\theta이고 θ\displaystyle \theta의 범위는 0≤θ≤π2\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac\pi2이다.

+6점

따라서 점 P가 그리는 도형의 길이 l1\displaystyle l_1은l1=∫0π2(dxdθ)2+(dydθ)2 dθ=∫0π22θ dθ=π24\displaystyle l_1=\int_0^{\frac\pi2}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta=\int_0^{\frac\pi2}2\theta\,d\theta=\frac{\pi^2}4이다.

+4점

[3.4] 정사각형의 윗변에 있는 실이 움직이면 점 P는 반지름의 길이가 2+π\displaystyle 2+\pi인 원에서 중심각 π6\displaystyle \frac\pi6인 호를 따라 움직인 것이므로 이때의 거리 l2\displaystyle l_2는l2=(2+π)×π6=π3+π26\displaystyle l_2=(2+\pi)\times\frac\pi6=\frac\pi3+\frac{\pi^2}6이다.

+4점

모든 실이 움직여서 점 P가 x\displaystyle x축과 다시 만날 때까지 반시계방향으로 움직이면 점 P는 반지름의 길이가 6+π\displaystyle 6+\pi인 원에서 중심각 5π6\displaystyle \frac{5\pi}6인 호를 따라 움직인 것이므로 이때의 거리 l3\displaystyle l_3는l3=(6+π)×5π6=5π+56π2\displaystyle l_3=(6+\pi)\times\frac{5\pi}6=5\pi+\frac56\pi^2이다.

+4점

따라서 점 P가 그리는 도형의 길이는l1+l2+l3=16π3+54π2\displaystyle l_1+l_2+l_3=\frac{16\pi}3+\frac54\pi^2이다.

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