자연계열 3번

[3.1] 점 Q의 좌표는 $\displaystyle (2\cos\theta,2\sin\theta)$이다.

[3.2] $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}$는 호 QB의 길이와 같으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=2\theta$이다. 점 P에서 $\displaystyle y$축에 내린 수선의 발을 H라고 하면, $\displaystyle \angle\mathrm{QPH}=\frac\pi2-\theta$이고 $\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac\pi2$이므로$\displaystyle x=2\cos\theta+2\theta\cos\left(\frac\pi2-\theta\right)=2(\cos\theta+\theta\sin\theta)$$\displaystyle y=2\sin\theta-2\theta\sin\left(\frac\pi2-\theta\right)=2(\sin\theta-\theta\cos\theta)$이다. 따라서 점 P의 좌표는 $\displaystyle (2(\cos\theta+\theta\sin\theta),2(\sin\theta-\theta\cos\theta))$이다.

[3.3] $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=2\theta\cos\theta$, $\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=2\theta\sin\theta$이고 $\displaystyle \theta$의 범위는 $\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac\pi2$이다. 따라서 점 P가 그리는 도형의 길이 $\displaystyle l_1$은$\displaystyle l_1=\int_0^{\frac\pi2}\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta=\int_0^{\frac\pi2}2\theta\,d\theta=\frac{\pi^2}4$이다.

[3.4] 정사각형의 윗변에 있는 실이 움직이면 점 P는 반지름의 길이가 $\displaystyle 2+\pi$인 원에서 중심각 $\displaystyle \frac\pi6$인 호를 따라 움직인 것이므로 이때의 거리 $\displaystyle l_2$는$\displaystyle l_2=(2+\pi)\times\frac\pi6=\frac\pi3+\frac{\pi^2}6$이다. 모든 실이 움직여서 점 P가 $\displaystyle x$축과 다시 만날 때까지 반시계방향으로 움직이면 점 P는 반지름의 길이가 $\displaystyle 6+\pi$인 원에서 중심각 $\displaystyle \frac{5\pi}6$인 호를 따라 움직인 것이므로 이때의 거리 $\displaystyle l_3$는$\displaystyle l_3=(6+\pi)\times\frac{5\pi}6=5\pi+\frac56\pi^2$이다. 따라서 점 P가 그리는 도형의 길이는$\displaystyle l_1+l_2+l_3=\frac{16\pi}3+\frac54\pi^2$이다.