자연계열 1-1번

[1.1] $\displaystyle f(x)=ax-3$, $\displaystyle g(x)=a\sqrt x$라고 하자. 접점에서의 접선이 $\displaystyle y=f(x)$이므로$\displaystyle a=g^{\prime}(x)=\frac12ax^{-\frac12},\quad x=\frac14$이다.

$\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$에 $\displaystyle x=\frac14$을 대입하면$\displaystyle f\left(\frac14\right)=\frac a4-3=a\sqrt{\frac14}=g\left(\frac14\right)$이므로 $\displaystyle a=-12$이다. 앞서 구한 $\displaystyle x=\frac14$과 $\displaystyle a=-12$를 직선의 방정식에 대입하면$\displaystyle y=-12\times\frac14-3=-6$이다. 따라서 접점의 좌표와 상수 $\displaystyle a$는 각각 $\displaystyle \left(\frac14,-6\right)$과 $\displaystyle -12$이다.