자연계열 1-2번

[1.2] 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 공비를 $\displaystyle r$이라고 하면 수열 $\displaystyle \{b_n\}$의 첫째항은 $\displaystyle \frac1{a_1}$이고 공비는 $\displaystyle -r$이다. 따라서$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n=\frac{\frac1{a_1}}{1-r}=1,\quad\sum_{n=1}^\infty d_n=\frac{a_1}{1+r}=2$ ($\displaystyle -1<r<1$)이다. 첫 번째 식으로부터 구한 $\displaystyle a_1=\frac1{1-r}$을 두 번째 식에 대입하면$\displaystyle (1-r)(1+r)=\frac12$이므로, $\displaystyle r=\frac{\sqrt2}2$ 또는 $\displaystyle r=-\frac{\sqrt2}2$이다.

$\displaystyle r=\frac{\sqrt2}2$일 때, $\displaystyle a_1=2+\sqrt2$이고$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n+2\sum_{n=1}^\infty b_n=\frac{a_1}{1-r}+2\frac{\frac1{a_1}}{1+r}=(6+4\sqrt2)+2(3-2\sqrt2)=12$이다. 마찬가지로 $\displaystyle r=-\frac{\sqrt2}2$일 때, $\displaystyle a_1=2-\sqrt2$이고$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n+2\sum_{n=1}^\infty b_n=\frac{a_1}{1-r}+2\frac{\frac1{a_1}}{1+r}=(6-4\sqrt2)+2(3+2\sqrt2)=12$이다. 따라서 구하는 값은 $\displaystyle 12$이다.