자연계열 1-3번

[1.3] 곡선 $\displaystyle y=f(x)=x^3-6x^2+7$의 함수를 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$이다. 따라서 점 $\displaystyle (0,7)$에서 곡선에 접하는 접선의 기울기는 $\displaystyle 0$이고 접선의 방정식은 $\displaystyle y=7$이다.

접선 $\displaystyle y=7$과 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 교점의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle x^3-6x^2=x^2(x-6)=0$이므로 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=6$이다. 또한 $\displaystyle y=f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면

이므로, $\displaystyle y=f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 극댓값을 갖고, 구간 $\displaystyle 0\leq x\leq6$에서 $\displaystyle y=7$보다 아래에 위치한다.따라서 구하는 도형의 넓이는$\displaystyle \int_0^6\{7-(x^3-6x^2+7)\}\,dx=\int_0^6(6x^2-x^3)\,dx=\Biggl[2x^3-\frac{x^4}4\Biggr]_0^6=108$이다.