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자연계열 2번

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서울과학기술대 2022학년도 수시 2차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2022su_2/jayeon_2

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[문제 2] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

아래 그림과 같이 곡선 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x 위에 두 점 A(a,ln⁡a)\displaystyle \mathrm{A}(a,\ln a)와 B(b,ln⁡b)\displaystyle \mathrm{B}(b,\ln b) (0<a<b<1\displaystyle 0<a<b<1)가 있다.

로그곡선의 점 A, B, C와 x축에 내린 수선의 발

(가) 곡선 위의 점 C에서의 접선이 직선 AB와 평행하다.

(나) 점 A, B, C에서 x\displaystyle x축에 내린 수선의 발을 각각 A1\displaystyle \mathrm{A}_1, B1\displaystyle \mathrm{B}_1, C1\displaystyle \mathrm{C}_1이라고 하자.

[2.1] 점 C의 x\displaystyle x좌표를 a\displaystyle a와 b\displaystyle b에 대한 식으로 나타내시오.

[2.2] 곡선 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x와 두 선분 AC1\displaystyle \mathrm{AC}_1, BC1\displaystyle \mathrm{BC}_1으로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S를 a\displaystyle a와 b\displaystyle b에 대한 식으로 나타내시오.

[2.3] b=2a\displaystyle b=2a일 때, 문항 [2.2]의 넓이 S\displaystyle S의 최댓값을 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2022학년도 수시 2차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2022su_2/jayeon_2

+4점 · y′=1x\displaystyle y^{\prime}=\frac1x이고 직선 AB의 기울기는 ln⁡b−ln⁡ab−a\displaystyle \frac{\ln b-\ln a}{b-a}이므로

[2.1] y′=1x\displaystyle y^{\prime}=\frac1x이고 직선 AB의 기울기는 ln⁡b−ln⁡ab−a\displaystyle \frac{\ln b-\ln a}{b-a}이므로

+4점 · 1x=ln⁡b−ln⁡ab−a\displaystyle \frac1x=\frac{\ln b-\ln a}{b-a}로부터 x=b−aln⁡b−ln⁡a\displaystyle x=\frac{b-a}{\ln b-\ln a}이다.

1x=ln⁡b−ln⁡ab−a\displaystyle \frac1x=\frac{\ln b-\ln a}{b-a}이고, x=b−aln⁡b−ln⁡a\displaystyle x=\frac{b-a}{\ln b-\ln a}이다.

+6점 · 따라서 S=−∫abln⁡x dx−12(b−aln⁡b−ln⁡a−a)×(−ln⁡a)−12(b−b−aln⁡b−ln⁡a)×(−ln⁡b)=−∫abln⁡x dx+12(bln⁡b−aln⁡a−b+a)\displaystyle S=-\int_a^b\ln x\,dx-\frac12\left(\frac{b-a}{\ln b-\ln a}-a\right)\times(-\ln a)-\frac12\left(b-\frac{b-a}{\ln b-\ln a}\right)\times(-\ln b)=-\int_a^b\ln x\,dx+\frac12(b\ln b-a\ln a-b+a)이고,
+6점 · 부분적분하면 S=−[xln⁡x−x]ab+12(bln⁡b−aln⁡a−b+a)=−12(bln⁡b−aln⁡a)+12(b−a)\displaystyle S=-\Biggl[x\ln x-x\Biggr]_a^b+\frac12(b\ln b-a\ln a-b+a)=-\frac12(b\ln b-a\ln a)+\frac12(b-a)이다.

[2.2] 넓이 S\displaystyle S는 x\displaystyle x축과 곡선 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x 사이의 넓이에서 삼각형 A1AC1\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{AC}_1과 삼각형 C1BB1\displaystyle \mathrm{C}_1\mathrm{BB}_1의 넓이를 빼면 구할 수 있다. 따라서S=−∫abln⁡x dx−12(b−aln⁡b−ln⁡a−a)×(−ln⁡a)−12(b−b−aln⁡b−ln⁡a)×(−ln⁡b)=−12(bln⁡b−aln⁡a)+12(b−a)\displaystyle \begin{aligned}S&=-\int_a^b\ln x\,dx-\frac12\left(\frac{b-a}{\ln b-\ln a}-a\right)\times(-\ln a)-\frac12\left(b-\frac{b-a}{\ln b-\ln a}\right)\times(-\ln b)\\&=-\frac12(b\ln b-a\ln a)+\frac12(b-a)\end{aligned}이다.

+7점

[2.3] b=2a\displaystyle b=2a이므로 넓이 S\displaystyle S는 a\displaystyle a에 대한 함수S(a)=−12{2aln⁡(2a)−aln⁡a}+12a=−aln⁡2−12aln⁡a+12a\displaystyle S(a)=-\frac12\{2a\ln(2a)-a\ln a\}+\frac12a=-a\ln2-\frac12a\ln a+\frac12a이고S′(a)=−ln⁡2−12ln⁡a\displaystyle S^{\prime}(a)=-\ln2-\frac12\ln a이다. 따라서 a=14\displaystyle a=\frac14일 때, S′(a)=0\displaystyle S^{\prime}(a)=0이다.

+6점

이때 S′(a)\displaystyle S^{\prime}(a)의 부호는 양에서 음으로 바뀌므로 최댓값은S(14)=−12(12ln⁡12−14ln⁡14)+18=18\displaystyle S\left(\frac14\right)=-\frac12\left(\frac12\ln\frac12-\frac14\ln\frac14\right)+\frac18=\frac18이다.

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