수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 2번

서울과학기술대 2022학년도 수시 2차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2022su_2/jayeon_2

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서울과학기술대 2022학년도 수시 2차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2022su_2/jayeon_2

+4점 · y′=1x\displaystyle y^{\prime}=\frac1x이고 직선 AB의 기울기는 ln⁡b−ln⁡ab−a\displaystyle \frac{\ln b-\ln a}{b-a}이므로 +4점 · 1x=ln⁡b−ln⁡ab−a\displaystyle \frac1x=\frac{\ln b-\ln a}{b-a}로부터 x=b−aln⁡b−ln⁡a\displaystyle x=\frac{b-a}{\ln b-\ln a}이다.

[2.1] y′=1x\displaystyle y^{\prime}=\frac1x이고 직선 AB의 기울기는 ln⁡b−ln⁡ab−a\displaystyle \frac{\ln b-\ln a}{b-a}이므로1x=ln⁡b−ln⁡ab−a\displaystyle \frac1x=\frac{\ln b-\ln a}{b-a}이고, x=b−aln⁡b−ln⁡a\displaystyle x=\frac{b-a}{\ln b-\ln a}이다.

+6점 · 넓이 S\displaystyle S는 x\displaystyle x축과 곡선 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x 사이의 넓이에서 삼각형 A1AC1\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{AC}_1과 삼각형 C1BB1\displaystyle \mathrm{C}_1\mathrm{BB}_1의 넓이를 빼면 구할 수 있다. 따라서 S=−∫abln⁡x dx−12(b−aln⁡b−ln⁡a−a)×(−ln⁡a)−12(b−b−aln⁡b−ln⁡a)×(−ln⁡b)=−∫abln⁡x dx+12(bln⁡b−aln⁡a−b+a)\displaystyle S=-\int_a^b\ln x\,dx-\frac12\left(\frac{b-a}{\ln b-\ln a}-a\right)\times(-\ln a)-\frac12\left(b-\frac{b-a}{\ln b-\ln a}\right)\times(-\ln b)=-\int_a^b\ln x\,dx+\frac12(b\ln b-a\ln a-b+a)이고, +6점 · 부분적분하면 S=−[xln⁡x−x]ab+12(bln⁡b−aln⁡a−b+a)=−12(bln⁡b−aln⁡a)+12(b−a)\displaystyle S=-\Biggl[x\ln x-x\Biggr]_a^b+\frac12(b\ln b-a\ln a-b+a)=-\frac12(b\ln b-a\ln a)+\frac12(b-a)이다.

[2.2] 넓이 S\displaystyle S는 x\displaystyle x축과 곡선 y=ln⁡x\displaystyle y=\ln x 사이의 넓이에서 삼각형 A1AC1\displaystyle \mathrm{A}_1\mathrm{AC}_1과 삼각형 C1BB1\displaystyle \mathrm{C}_1\mathrm{BB}_1의 넓이를 빼면 구할 수 있다. 따라서S=−∫abln⁡x dx−12(b−aln⁡b−ln⁡a−a)×(−ln⁡a)−12(b−b−aln⁡b−ln⁡a)×(−ln⁡b)=−12(bln⁡b−aln⁡a)+12(b−a)\displaystyle \begin{aligned}S&=-\int_a^b\ln x\,dx-\frac12\left(\frac{b-a}{\ln b-\ln a}-a\right)\times(-\ln a)-\frac12\left(b-\frac{b-a}{\ln b-\ln a}\right)\times(-\ln b)\\&=-\frac12(b\ln b-a\ln a)+\frac12(b-a)\end{aligned}이다.

+7점 · b=2a\displaystyle b=2a이므로 넓이 S\displaystyle S는 a\displaystyle a에 대한 함수 S(a)=−12{2aln⁡(2a)−aln⁡a}+12a=−aln⁡2−12aln⁡a+12a\displaystyle S(a)=-\frac12\{2a\ln(2a)-a\ln a\}+\frac12a=-a\ln2-\frac12a\ln a+\frac12a 이고 S′(a)=−ln⁡2−12ln⁡a\displaystyle S^{\prime}(a)=-\ln2-\frac12\ln a 이다. 따라서 a=14\displaystyle a=\frac14일 때, S′(a)=0\displaystyle S^{\prime}(a)=0이다. +6점 · 이때 S′(a)\displaystyle S^{\prime}(a)의 부호는 양에서 음으로 바뀌므로 최댓값은 S(14)=−12(12ln⁡12−14ln⁡14)+18=18\displaystyle S\left(\frac14\right)=-\frac12\left(\frac12\ln\frac12-\frac14\ln\frac14\right)+\frac18=\frac18 이다.

[2.3] b=2a\displaystyle b=2a이므로 넓이 S\displaystyle S는 a\displaystyle a에 대한 함수S(a)=−12{2aln⁡(2a)−aln⁡a}+12a=−aln⁡2−12aln⁡a+12a\displaystyle S(a)=-\frac12\{2a\ln(2a)-a\ln a\}+\frac12a=-a\ln2-\frac12a\ln a+\frac12a이고S′(a)=−ln⁡2−12ln⁡a\displaystyle S^{\prime}(a)=-\ln2-\frac12\ln a이다. 따라서 a=14\displaystyle a=\frac14일 때, S′(a)=0\displaystyle S^{\prime}(a)=0이다. 이때 S′(a)\displaystyle S^{\prime}(a)의 부호는 양에서 음으로 바뀌므로 최댓값은S(14)=−12(12ln⁡12−14ln⁡14)+18=18\displaystyle S\left(\frac14\right)=-\frac12\left(\frac12\ln\frac12-\frac14\ln\frac14\right)+\frac18=\frac18이다.

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