자연계열 3번

[3.1] 각 도로의 길이는$\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=\sqrt{(d-x)^2+1},\quad\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{x^2+4}$이므로 필요한 총 연료의 양은$\displaystyle f(x)=\sqrt{(d-x)^2+1}+k\sqrt{x^2+4}$이다.

[3.2] $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$일 때, $\displaystyle f(x)$가 최소이므로$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{x-d}{\sqrt{(d-x)^2+1}}+\frac{kx}{\sqrt{x^2+4}}=0$이다. 주어진 값 $\displaystyle k=\frac32$과 $\displaystyle x=\sqrt2$를 위 방정식에 대입하면$\displaystyle \frac{\sqrt2-d}{\sqrt{(d-\sqrt2)^2+1}}+\frac32\times\frac{\sqrt2}{\sqrt{2+4}}=0$이고 $\displaystyle d=\sqrt2\pm\sqrt3$이다. $\displaystyle d>0$이므로 $\displaystyle d=\sqrt2+\sqrt3$이고, $\displaystyle \theta_1$이 예각인 직각삼각형에서$\displaystyle \tan\theta_1=\frac{d-x}1=\sqrt3$이므로 $\displaystyle \theta_1=\frac\pi3$이다.

[3.3] $\displaystyle h$가 한 변인 직각삼각형에서$\displaystyle h=\overline{\mathrm{AB}}\sin(\theta_1-\theta_2)=\overline{\mathrm{AB}}(\sin\theta_1\cos\theta_2-\cos\theta_1\sin\theta_2)$이다. 주어진 값 $\displaystyle k=\frac32$, $\displaystyle x=\sqrt2$와 문항 [3.2]에서 구한 $\displaystyle \theta_1=\frac\pi3$를 이용하면$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt6,\quad\sin\theta_1=\frac{\sqrt3}2,\quad\cos\theta_1=\frac12$이고$\displaystyle \sin\theta_2=\frac{\sqrt2}{\sqrt6}=\frac1{\sqrt3},\quad\cos\theta_2=\sqrt{1-\sin^2\theta_2}=\sqrt{1-\frac13}=\sqrt{\frac23}$이다. 따라서$\displaystyle h=\sqrt6\times\left(\frac{\sqrt3}2\times\frac{\sqrt2}{\sqrt3}-\frac12\times\frac1{\sqrt3}\right)=\sqrt3-\frac1{\sqrt2}$이다.