자연계열 1-1번

[1.1] $\displaystyle y=x$를 $\displaystyle \cos(x-y)+x^2+y^2=9$에 대입하면$\displaystyle \cos(x-x)+x^2+x^2=9$이므로 $\displaystyle x=\pm2$이다. 따라서 곡선과 직선이 만나는 점은 $\displaystyle (2,2)$와 $\displaystyle (-2,-2)$이다.

만나는 점에서의 접선의 기울기 $\displaystyle \frac{dy}{dx}$를 구하기 위해 곡선의 방정식 양변을 $\displaystyle x$에 대해 미분하면$\displaystyle -\left(1-\frac{dy}{dx}\right)\sin(x-y)+2x+2y\frac{dy}{dx}=0$이고, 이를 정리하면$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\sin(x-y)-2x}{\sin(x-y)+2y}$이다.

만나는 점 $\displaystyle (2,2)$와 $\displaystyle (-2,-2)$에서 접선의 기울기는 각각$\displaystyle \frac{\sin(2-2)-4}{\sin(2-2)+4}=-1,\quad\frac{\sin(-2+2)+4}{\sin(-2+2)-4}=-1$이다. 따라서 접선의 방정식은 각각$\displaystyle y=-x+4,\quad y=-x-4$이다.