자연계열 3번

[3.1] 함수 $\displaystyle f(x)$를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2tx+9$이다.

함수 $\displaystyle f(x)$가 극댓값과 극솟값을 갖기 위해서는 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. 따라서 판별식이 양수이므로 $\displaystyle t^2-27>0$이다. 제시문 (가)로부터 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$가 모두 음수이므로 $\displaystyle \alpha\beta=3>0$이고 $\displaystyle \alpha+\beta=-\frac23t<0$이 성립해야 한다. 따라서 $\displaystyle t>3\sqrt3$이다.

[3.2] $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta$는 방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2tx+9=0$의 두 근이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 두 근은$\displaystyle x=\frac{-t\pm\sqrt{t^2-27}}3$이고 $\displaystyle \alpha<\beta$이므로$\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{2t}3,\quad\alpha\beta=3,\quad\alpha-\beta=-\frac23\sqrt{t^2-27}$이다. 그러므로$\displaystyle \alpha^2-\beta^2=(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)=\frac{4t}9\sqrt{t^2-27}$이다.

[3.3] $\displaystyle \tan\theta_1=\frac{f(\alpha)}\alpha$, $\displaystyle \tan\theta_2=\frac{f(\beta)}\beta$이므로$\displaystyle g(t)=\frac{f(\alpha)}\alpha-\frac{f(\beta)}\beta=\frac{\beta f(\alpha)-\alpha f(\beta)}{\alpha\beta}=\frac{\beta f(\alpha)-\alpha f(\beta)}3$이다.

이때$\displaystyle \begin{aligned}\beta f(\alpha)-\alpha f(\beta)&=\beta(\alpha^3+t\alpha^2+9\alpha+15)-\alpha(\beta^3+t\beta^2+9\beta+15)\\&=(\alpha-\beta)\{\alpha\beta(\alpha+\beta)+3t-15\}\\&=-\frac23(t-15)\sqrt{t^2-27}\end{aligned}$이다. 따라서$\displaystyle g(t)=\frac{f(\alpha)}\alpha-\frac{f(\beta)}\beta=-\frac29(t-15)\sqrt{t^2-27}$이다.

[3.4] 먼저 $\displaystyle g(t)$를 미분하면$\displaystyle g^{\prime}(t)=-\frac{2(t-9)(2t+3)}{9\sqrt{t^2-27}}$이다. $\displaystyle t>3\sqrt3$이므로 $\displaystyle \sqrt{t^2-27}$과 $\displaystyle 2t+3$은 양수이고, 함수 $\displaystyle g(t)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle t=9$에서 극댓값이자 최댓값인 $\displaystyle 4\sqrt6$을 갖는다.