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자연계열 1-2번

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서울과학기술대 2022학년도 수시 3차 자연계열 1-2번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2022su_3/jayeon_1_2

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[문제 1] 다음 물음에 답하시오.

[1.2] 함수 y=110244−x+32\displaystyle y=\frac1{1024}4^{-x}+\frac32의 그래프는 함수 f(x)=ax\displaystyle f(x)=a^x (a>0,a≠1\displaystyle a>0,a\neq1)의 그래프를 x\displaystyle x축의 방향으로 m\displaystyle m만큼, y\displaystyle y축의 방향으로 n\displaystyle n만큼 평행이동한 것이다. 1\displaystyle 1이 아닌 양수 b\displaystyle b에 대하여 3log⁡ba=44a−3\displaystyle 3\log_ba=\frac4{4a-3}가 성립한다. 함수 g(x)=mnlog⁡bx\displaystyle g(x)=mn\log_bx에 대하여 (g∘f)(5)\displaystyle (g\circ f)(5)의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2022학년도 수시 3차 자연계열 1-2번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2022su_3/jayeon_1_2

+8점

[1.2] y=110244−x+32=(14)x+5+32\displaystyle y=\frac1{1024}4^{-x}+\frac32=\left(\frac14\right)^{x+5}+\frac32이므로, a=14,m=−5,n=32\displaystyle a=\frac14,m=-5,n=\frac32이다. a=14\displaystyle a=\frac14을 3log⁡ba=44a−3\displaystyle 3\log_ba=\frac4{4a-3}에 대입하면 −3log⁡b4=−2\displaystyle -3\log_b4=-2이므로 b=8\displaystyle b=8이다.

+3점 · 따라서 f(x)=(14)x\displaystyle f(x)=\left(\frac14\right)^x, g(x)=−152log⁡8x\displaystyle g(x)=-\frac{15}2\log_8x이므로 다음을 얻는다. (g∘f)(5)=−152log⁡84−5=−152×(−5)×23=25\displaystyle (g\circ f)(5)=-\frac{15}2\log_84^{-5}=-\frac{15}2\times(-5)\times\frac23=25

따라서 f(x)=(14)x\displaystyle f(x)=\left(\frac14\right)^x, g(x)=−152log⁡8x\displaystyle g(x)=-\frac{15}2\log_8x이므로(g∘f)(5)=−152log⁡84−5=−152×(−5)×23=25\displaystyle (g\circ f)(5)=-\frac{15}2\log_84^{-5}=-\frac{15}2\times(-5)\times\frac23=25이다.

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