자연계열 1-3번

[1.3] $\displaystyle n=1$일 때 $\displaystyle y=\frac x\pi$의 그래프와 $\displaystyle y=\sin x$는 원점을 포함하여 $\displaystyle x\geq0$에서 두 개의 교점을 갖는다. $\displaystyle y=\frac x\pi$, $\displaystyle y=\sin x$ 모두 원점대칭이므로 $\displaystyle -\pi<x\leq0$에서 원점을 포함하여 두 개의 교점을 갖게 되므로 $\displaystyle a_1=2+2-1=3$이다.$\displaystyle n\geq2$인 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 곡선 $\displaystyle y=\sin x$와 직선 $\displaystyle y=\frac1{(2n-1)\pi}x$는 $\displaystyle 0\leq x<(2n-2)\pi$에서 주기 $\displaystyle 2\pi$마다 $\displaystyle 2$개씩의 교점이 있으므로 원점을 포함하여 $\displaystyle 2n-2$개의 교점을 갖는다. 또 $\displaystyle (2n-2)\pi<x<(2n-1)\pi$에서 $\displaystyle 2$개의 교점을 갖고 $\displaystyle x\geq(2n-1)\pi$에서는 교점이 없다. 따라서 $\displaystyle x\geq0$에서 $\displaystyle 2n$개의 교점을 갖는다. 곡선 $\displaystyle y=\sin x$와 직선 $\displaystyle y=\frac1{(2n-1)\pi}x$이 모두 원점대칭임을 생각하면 $\displaystyle x\leq0$에서 원점을 포함하여 $\displaystyle 2n$개의 교점이 있으므로 $\displaystyle a_n=2n+2n-1=4n-1$이다. 따라서 주어진 급수 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac1{a_na_{n+1}}$의 제 $\displaystyle n$항까지의 부분합을 $\displaystyle S_n$이라고 하면$\displaystyle \begin{aligned}S_n&=\sum_{k=1}^n\frac1{a_na_{n+1}}=\sum_{k=1}^n\frac1{(4k-1)(4k+3)}=\frac14\sum_{k=1}^n\left(\frac1{4k-1}-\frac1{4k+3}\right)\\&=\frac14\left\{\left(\frac13-\frac17\right)+\left(\frac17-\frac1{11}\right)+\left(\frac1{11}-\frac1{15}\right)+\cdots+\left(\frac1{4n-1}-\frac1{4n+3}\right)\right\}\\&=\frac14\left(\frac13-\frac1{4n+3}\right)=\frac1{12}-\frac1{16n+12}\end{aligned}$Comment. 부분합을 나타낸 첫 번째 합에서 $\displaystyle a_na_{n+1}$은 $\displaystyle a_ka_{k+1}$의 오기이다. 올바른 식은 다음과 같으며, 이어지는 계산과 극한값은 맞다.$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n\frac1{a_ka_{k+1}}=\frac1{12}-\frac1{16n+12}\longrightarrow\frac1{12}$ 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{12}-\frac1{16n+12}\right)=\frac1{12}$즉 주어진 급수의 극한값은 $\displaystyle \frac1{12}$이다.