자연계열 2번

[2.1] 단면의 넓이가 $\displaystyle \pi^2-2\pi x$이므로$\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}(\pi^2-2\pi x)\,dx=\Biggl[\pi^2x-\pi x^2\Biggr]_0^{\frac\pi2}=\frac{\pi^3}4$이다.

따라서 아래쪽 입체도형의 부피는 $\displaystyle \frac{\pi^3}4\,\mathrm{cm}^3$이다.

[2.2] 단면의 넓이가 $\displaystyle \pi\left(x-\frac\pi2\right)(1+\cos2x)$이므로$\displaystyle V=\int_{\frac\pi2}^\pi\pi\left(x-\frac\pi2\right)(1+\cos2x)\,dx$이다.

$\displaystyle x-\frac\pi2$를 $\displaystyle t$로 치환하면$\displaystyle V=\int_0^{\frac\pi2}\pi t\{1+\cos(2t+\pi)\}\,dt=\pi\int_0^{\frac\pi2}(t-t\cos2t)\,dt$이다. 부분적분하면$\displaystyle \int t\cos2t\,dt=\frac12t\sin2t+\frac14\cos2t+C$ ($\displaystyle C$는 적분상수)이므로$\displaystyle V=\pi\Biggl[\frac12t^2-\frac12t\sin2t-\frac14\cos2t\Biggr]_0^{\frac\pi2}=\frac{\pi^3}8+\frac\pi2$이다. 따라서 위쪽 입체도형의 부피는 $\displaystyle \left(\frac{\pi^3}8+\frac\pi2\right)\mathrm{cm}^3$이다.

[2.3] 4분 후 아래쪽 입체도형에 채워진 물의 부피는 $\displaystyle \frac{4\pi^3}{25}$이며, 물의 높이를 $\displaystyle h$라 하면$\displaystyle \int_0^h(\pi^2-2\pi x)\,dx=\pi^2h-\pi h^2=\frac{4\pi^3}{25}$이다.

이를 정리하여 인수분해하면$\displaystyle h^2-\pi h+\frac{4\pi^2}{25}=\left(h-\frac\pi5\right)\left(h-\frac{4\pi}5\right)=0$이다. $\displaystyle 0\leq h\leq\frac\pi2$이므로 물의 높이는 $\displaystyle \frac\pi5\,\mathrm{cm}$이다.