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자연계열 1-2번

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서울과학기술대 2022학년도 수시 4차 자연계열 1-2번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2022su_4/jayeon_1_2

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[문제 1] 다음 물음에 답하시오.

[1.2] 첫째항이 0\displaystyle 0이 아닌 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여∑k=1n(k+2)ak+1(k+1)ak=n2+5n\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{(k+2)a_{k+1}}{(k+1)a_k}=n^2+5n일 때, a10a8\displaystyle \frac{a_{10}}{a_8}의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2022학년도 수시 4차 자연계열 1-2번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2022su_4/jayeon_1_2

+4점

[1.2] 주어진 식에서11a1010a9=∑k=19(k+2)ak+1(k+1)ak−∑k=18(k+2)ak+1(k+1)ak=(92+5×9)−(82+5×8)=22\displaystyle \frac{11a_{10}}{10a_9}=\sum_{k=1}^9\frac{(k+2)a_{k+1}}{(k+1)a_k}-\sum_{k=1}^8\frac{(k+2)a_{k+1}}{(k+1)a_k}=(9^2+5\times9)-(8^2+5\times8)=22이고

+4점

10a99a8=∑k=18(k+2)ak+1(k+1)ak−∑k=17(k+2)ak+1(k+1)ak=(82+5×8)−(72+5×7)=20\displaystyle \frac{10a_9}{9a_8}=\sum_{k=1}^8\frac{(k+2)a_{k+1}}{(k+1)a_k}-\sum_{k=1}^7\frac{(k+2)a_{k+1}}{(k+1)a_k}=(8^2+5\times8)-(7^2+5\times7)=20이므로a10=20a9,a9=18a8\displaystyle a_{10}=20a_9,\quad a_9=18a_8이다.

+4점

따라서 a10a8=360\displaystyle \frac{a_{10}}{a_8}=360이다.

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