자연계열 3번

[3.1] 점 $\displaystyle \mathrm{P}_k$의 좌표는 $\displaystyle (\cos\theta_k,\sin\theta_k)$이고 $\displaystyle \mathrm{C}(-1,0)$이므로 점 C와 점 $\displaystyle \mathrm{P}_k$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{\sin\theta_k}{\cos\theta_k+1}(x+1)$이다. 점 O와 점 B를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-x$이고, 이 두 직선의 교점 $\displaystyle \mathrm{R}_k$의 좌표는 $\displaystyle \left(-\frac{\sin\theta_k}{\sin\theta_k+\cos\theta_k+1},\frac{\sin\theta_k}{\sin\theta_k+\cos\theta_k+1}\right)$이다. 따라서$\displaystyle L_k=\frac{\sqrt2\sin\theta_k}{\sin\theta_k+\cos\theta_k+1}$이다.

[3.2] 삼각형 $\displaystyle \mathrm{R}_k\mathrm{CO}$에서 코사인법칙을 이용하면$\displaystyle M_k^2=L_k^2+1-2L_k\cos\left(\frac\pi4\right)=L_k^2+1-\sqrt2L_k$이다. $\displaystyle \theta_k=\frac{3\pi k}{4n}$이므로 $\displaystyle n=3$일 때 $\displaystyle \theta_k=\frac\pi4k$이다. 따라서 구하고자 하는 값은$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=1}^3(M_k^2-L_k^2)&=\sum_{k=1}^3(1-\sqrt2L_k)=3-2\sum_{k=1}^3\frac{\sin(\frac\pi4k)}{\sin(\frac\pi4k)+\cos(\frac\pi4k)+1}\\&=3-2\left(1-\frac{\sqrt2}2+\frac12+\frac{\sqrt2}2\right)=0\end{aligned}$이다.

[3.3] $\displaystyle \theta_k=\frac{3\pi k}{4n}$이므로$\displaystyle S_k=\frac12\times4\times\sin\frac{3k\pi}{4n}=2\sin\frac{3k\pi}{4n},\quad T_n=\sum_{k=1}^n S_k=\sum_{k=1}^n2\sin\frac{3k\pi}{4n}$이다. 따라서 정적분을 이용하여 극한값을 구하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{T_n}n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n2\sin\frac{3k\pi}{4n}\frac1n=\int_0^12\sin\left(\frac{3\pi}4x\right)\,dx=-\frac8{3\pi}\Biggl[\cos\left(\frac{3\pi}4x\right)\Biggr]_0^1=\frac{8+4\sqrt2}{3\pi}$이다.