자연계열 2번

[2.1] $\displaystyle y=e^x$를 미분하면 $\displaystyle y^{\prime}=e^x$이므로 점 $\displaystyle (0,1)$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle 1$이다. 따라서 $\displaystyle f(x)=x+1$이다. $\displaystyle g(x)=e^x-x-1$이라고 하자.

$\displaystyle g(x)$를 미분하면$\displaystyle g^{\prime}(x)=e^x-1$이므로 $\displaystyle g(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle g(0)=0$은 극솟값이자 최솟값이다.

[2.2] $\displaystyle h(x)=2x^2+x+1-e^x$이라고 하면$\displaystyle h^{\prime}(x)=4x+1-e^x,\quad h^{\prime\prime}(x)=4-e^x$이다. 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 $\displaystyle h^{\prime\prime}(x)>0$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(x)$는 구간 $\displaystyle (0,1)$에서 증가한다. 한편 $\displaystyle h^{\prime}(0)=0$이므로 $\displaystyle 0<x<1$에서 $\displaystyle h^{\prime}(x)>0$이다. 따라서 $\displaystyle h(x)$는 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에서 극값을 가지지 않는다.

여기서 $\displaystyle h(0)=0$, $\displaystyle h(1)>0$이므로 함수 $\displaystyle h(x)$의 최솟값은 $\displaystyle 0$이다.

[2.3] 문항 [2.2]에 의해서 $\displaystyle 0\leq x\leq1$에서 $\displaystyle 2x^2+x+1-e^x\geq0$이므로 부등식$\displaystyle e^x\leq1+x+2x^2$이 성립한다. 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 0<\frac1n\leq1$이므로 $\displaystyle x=\frac1n$을 위 부등식에 대입하면$\displaystyle \sqrt[n]e\leq1+\frac1n+\frac2{n^2}$가 성립한다.

[2.4] 문항 [2.1]에 의해서 $\displaystyle e^x\geq1+x$가 성립한다. 여기서 $\displaystyle x=\frac1n$을 대입하면, 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \frac1n\leq\sqrt[n]e-1$이 성립함을 알 수 있다. 또 문항 [2.3]에 의하여$\displaystyle \sqrt[n]e-1\leq\frac1n+\frac2{n^2}$가 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립한다. $\displaystyle c_n=n(\sqrt[n]e-1)$이라고 하면 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle 1\leq c_n\leq1+\frac2n$가 성립한다.

$\displaystyle a_n=1$, $\displaystyle b_n=1+\frac2n$라고 하면$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=1$이므로 제시문 (나)에 의하여$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n(\sqrt[n]e-1)=1$이다.