자연계열 1-3번

[1.3] 등차수열 $\displaystyle \{a_n\}$과 $\displaystyle \{b_n\}$의 일반항은 아래와 같다.$\displaystyle \begin{aligned}a_n&=a_1+(n-1)d_1\\b_n&=b_1+(n-1)d_2\end{aligned}$수열 $\displaystyle \{b_n\}$의 첫째항부터 제$\displaystyle n$항까지의 합 $\displaystyle S_n$과 $\displaystyle b_{n+2}-b_n$은 다음과 같다.$\displaystyle S_n=\frac n2(b_1+b_n)=\frac n2(2b_1+(n-1)d_2)$$\displaystyle b_{n+2}-b_n=2d_2$따라서, 주어진 식에 대입하여 정리하면,$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{(a_1+(n-1)d_1)^2}{2d_2\cdot\frac n2(2b_1+(n-1)d_2)}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2\left(\frac{a_1}n+(1-\frac1n)d_1\right)^2}{n^2d_2\left(\frac{2b_1}n+(1-\frac1n)d_2\right)}=\frac{d_1^2}{d_2^2}=27$이때, $\displaystyle d_1>0$, $\displaystyle d_2>0$이므로, $\displaystyle \frac{d_1}{d_2}=3\sqrt3$이다.