자연계열 2번

[2.1] 곡선 $\displaystyle y=f(x)$가 원점에 대해서 대칭일 필요충분조건은 $\displaystyle f(-x)=-f(x)$가 성립하는 것이다. 여기서$\displaystyle f(-x)=\frac{5^{-x}}{1+5^{-x}}-\frac12=\frac1{1+5^x}-\frac12=\frac{1+5^x-5^x}{1+5^x}-\frac12=\frac12-\frac{5^x}{1+5^x}=-f(x)$가 성립하므로 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프는 원점에 대해서 대칭이다.

[2.2] $\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)$라고 놓으면 $\displaystyle h(x)=0$을 만족하는 $\displaystyle x$가 세 개임을 보이면 된다. $\displaystyle y=h(x)$의 그래프는 원점대칭이므로 원점을 지나고, $\displaystyle h(x)=0$을 만족하는 $\displaystyle x$가 $\displaystyle x>0$인 범위에서 오직 하나뿐임을 보이면 충분하다. 이때$\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{(\ln5)5^x}{(1+5^x)^2}-m,\quad h^{\prime\prime}(x)=-\frac{(\ln5)^2(5^x-1)5^x}{(1+5^x)^3}$이다. 여기서 $\displaystyle x>0$인 범위에서 $\displaystyle h^{\prime\prime}(x)<0$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(x)$는 $\displaystyle x>0$인 범위에서 감소한다.또한 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}h^{\prime}(x)=-m<0$이므로 $\displaystyle h^{\prime}(0)=\frac14\ln5-m>0$이면 $\displaystyle y=h(x)$는 $\displaystyle x>0$인 범위에서 $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$을 만족하는 $\displaystyle x=x_0$ ($\displaystyle x_0>0$)이 유일하게 존재한다.$\displaystyle -\frac12<f(x)<\frac12$로부터, 함수 $\displaystyle h(x)$의 증감표는 다음과 같다.

따라서 그래프의 개형으로부터 $\displaystyle y=h(x)$의 그래프는 $\displaystyle 0<x<\frac1m$인 범위에서 $\displaystyle x$축과 단 한 번 만난다는 것을 알 수 있다.한편, $\displaystyle m\geq\frac14\ln5$이면 $\displaystyle h^{\prime}(0)\leq0$이므로 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x>0$에서 감소함수이다. 그런데 $\displaystyle h(0)=0$이므로 $\displaystyle x>0$인 범위에서 $\displaystyle x$축과 만나지 않는다. 따라서 $\displaystyle 0<m<\frac14\ln5$이다.

[2.3] $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프가 모두 원점대칭이므로 $\displaystyle a=-c$이다.또한, $\displaystyle f(x)>-\frac12$로 부터 문제에 제시된 도형의 넓이는 $\displaystyle \int_{-c}^c\frac{5^x}{1+5^x}\,dx$이다. 여기서$\displaystyle \int_{-c}^c\frac{5^x}{1+5^x}\,dx=\int_{-c}^0\frac{5^x}{1+5^x}\,dx+\int_0^c\frac{5^x}{1+5^x}\,dx$이고 우변의 첫 번째 적분에서 $\displaystyle t=-x$로 치환하면$\displaystyle \int_{-c}^0\frac{5^x}{1+5^x}\,dx=\int_0^c\frac{5^{-t}}{1+5^{-t}}\,dt=\int_0^c\frac1{1+5^t}\,dt$이 성립한다. 도형의 넓이가 $\displaystyle 2$이므로$\displaystyle \int_{-c}^c\frac{5^x}{1+5^x}\,dx=\int_0^c\frac1{1+5^x}\,dx+\int_0^c\frac{5^x}{1+5^x}\,dx=\int_0^c1\,dx=c=2$이다. 따라서 $\displaystyle f(2)=\frac{25}{1+25}-\frac12=g(2)=2m$으로부터 $\displaystyle m=\frac3{13}$이다.