자연계열 3번

[3.1] $\displaystyle t=\overline{\mathrm{AB}}$이므로 코사인 법칙에 의하여$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}^2=t^2+1-2t\cos\theta$이고$\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}^2=\left(\frac43\right)^2+1-\frac83\cos\theta=\frac{25}9-\frac83\cos\theta$이다.

[3.2] 삼각형의 세 변의 길이의 제곱의 합은$\displaystyle l_1=\overline{\mathrm{PA}}^2+\overline{\mathrm{AB}}^2+\overline{\mathrm{BP}}^2=t^2+1-2t\cos\theta+t^2+1=2t^2-2t\cos\theta+2$이고$\displaystyle l_2=\overline{\mathrm{OP}}^2+\frac79=\frac{32}9-\frac83\cos\theta$이다. 따라서 모든 점 A에 대하여 $\displaystyle l_1>l_2$가 되기 위해서는, $\displaystyle 0<t<\frac43$에 대하여$\displaystyle 2t^2-2t\cos\theta+2>\frac{32}9-\frac83\cos\theta$또는$\displaystyle t^2-t\cos\theta+\frac43\cos\theta-\frac79=\left(t-\frac12\cos\theta\right)^2-\frac14\cos^2\theta+\frac43\cos\theta-\frac79>0$가 성립해야 한다. 그런데 $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$일 때 $\displaystyle 0<\frac12\cos\theta<\frac12$이므로$\displaystyle -\frac14\cos^2\theta+\frac43\cos\theta-\frac79>0$즉,$\displaystyle \cos^2\theta-\frac{16}3\cos\theta+\frac{28}9<0$이면 된다. 인수분해하면$\displaystyle \left(\cos\theta-\frac23\right)\left(\cos\theta-\frac{14}3\right)<0$이므로 $\displaystyle \frac23<\cos\theta<\frac{14}3$이다. 그런데 $\displaystyle \cos\theta<1$이므로 $\displaystyle \cos\theta$의 범위는 $\displaystyle \frac23<\cos\theta<1$이다.

[3.3] $\displaystyle \theta=\frac\pi6,\frac\pi4,\frac\pi3$에 대해서 $\displaystyle \cos^2\theta$의 값을 구하면 각각 $\displaystyle \frac34$, $\displaystyle \frac12$, $\displaystyle \frac14$이다.이 중 $\displaystyle \left(\frac23\right)^2$보다 큰 값은 $\displaystyle \frac34$와 $\displaystyle \frac12$이므로, 조건을 만족하는 $\displaystyle \theta$는 $\displaystyle \frac\pi6$와 $\displaystyle \frac\pi4$이다.