자연계열 1-4번

[1.4] 곡선 $\displaystyle y=1-x^2$과 원 모두에 접하는 점을 $\displaystyle \mathrm{P}(t,1-t^2)$이라고 하면, 제 1사분면에서 접하므로 $\displaystyle t>0$이다. 이 점에서 곡선 $\displaystyle y=1-x^2$의 접선의 기울기는 $\displaystyle -2t$이다. 또 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$는 이 접선과 직교하며, 기울기는 $\displaystyle \frac{1-t^2}t$이므로$\displaystyle \frac{1-t^2}t\times(-2t)=-1$즉 $\displaystyle t=\frac1{\sqrt2}$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{P}\left(\frac1{\sqrt2},\frac12\right)$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\frac{\sqrt3}2$이다.구하고자 하는 영역은 제 1사분면에서 포물선에 의해 둘러싸인 부분에서 사분원을 제외한 부분의 넓이가 된다.$\displaystyle S_1+S_2=\int_0^1(1-x^2)\,dx-\frac14\pi\times\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2=\frac23-\frac14\pi\times\frac34=\frac23-\frac{3\pi}{16}$