자연계열 2번

[2.1]1) $\displaystyle x<-2n\pi$이면$\displaystyle x+2n\pi<0,\ x-2n\pi<0$이므로 $\displaystyle f(x)=-x-2n\pi-x+2n\pi+1-4n\pi=-2x+1-4n\pi$따라서 (ㄱ)$\displaystyle =-2x+1-4n\pi$2) $\displaystyle -2n\pi\leqq x\leqq2n\pi$이면$\displaystyle x+2n\pi\geqq0,\ x-2n\pi\leqq0$이므로 $\displaystyle f(x)=x+2n\pi-x+2n\pi+1-4n\pi=1$따라서 (ㄴ)$\displaystyle =1$3) $\displaystyle x>2n\pi$이면$\displaystyle x+2n\pi>0,\ x-2n\pi>0$이므로 $\displaystyle f(x)=x+2n\pi+x-2n\pi+1-4n\pi=2x+1-4n\pi$따라서 (ㄷ)$\displaystyle =2x+1-4n\pi$이므로$\displaystyle f(x)=\begin{cases}-2x+1-4n\pi&(x<-2n\pi)\\1&(-2n\pi\leqq x\leqq2n\pi)\\2x+1-4n\pi&(x>2n\pi)\end{cases}$이다.

[2.2] 모든 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle \cos x\leq1$이다. [2.1]에 의해 $\displaystyle y=f(x)$는1) $\displaystyle x<-2n\pi$이면 $\displaystyle f(x)=-2x+1-4n\pi>1$2) $\displaystyle -2n\pi\leqq x\leqq2n\pi$이면 $\displaystyle f(x)=1$3) $\displaystyle x>2n\pi$이면 $\displaystyle f(x)=2x+1-4n\pi>1$이므로 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=\cos x$의 그래프가 만나려면 $\displaystyle -2n\pi\leqq x\leqq2n\pi$인 실수 $\displaystyle x$중 $\displaystyle \cos x=1$가 되는 $\displaystyle x$의 개수를 구하면 된다. 정수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle x=2k\pi$일 때 $\displaystyle \cos x=1$이므로$\displaystyle -2n\pi\leqq2k\pi\leqq2n\pi\ \Rightarrow\ -n\leqq k\leqq n$인 정수 $\displaystyle k$는 모두 $\displaystyle 2n+1$개이고 따라서 교점의 개수는 $\displaystyle 2n+1$이다.

[2.3]$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{26}\frac1{a_na_{n+1}}&=\sum_{n=1}^{26}\frac1{(2n+1)(2n+3)}\\&=\frac12\sum_{n=1}^{26}\left(\frac1{2n+1}-\frac1{2n+3}\right)\\&=\frac12\left\{\left(\frac13-\frac15\right)+\left(\frac15-\frac17\right)+\cdots+\left(\frac1{53}-\frac1{55}\right)\right\}=\frac{26}{165}\end{aligned}$