자연계열 3번

[3.1] $\displaystyle f^{\prime}(x)=3ax^2$이고 $\displaystyle g^{\prime}(x)=6x$이므로 $\displaystyle x=2$일 때 접선의 기울기가 같으려면$\displaystyle 12a=12\Rightarrow a=1$이다. 또 이때 $\displaystyle f(2)=g(2)$이어야 하므로$\displaystyle 8a=8=12+b\Rightarrow b=-4$이다.

[3.2] 문항 [3.1]에 의하여 $\displaystyle f(x)=x^3$이다. $\displaystyle x=2$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle 12$이고 접점의 좌표는 $\displaystyle (2,8)$이므로 접선의 방정식은$\displaystyle y=12(x-2)+8,\ y=12x-16$이다. 따라서 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle x^3=12x-16$을 만족하므로$\displaystyle x^3-12x+16=(x-2)^2(x+4)=0$이다. 따라서 제3사분면의 교점의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle -4$이고 교점의 좌표는 $\displaystyle (-4,-64)$이다.

[3.3] 문항 [3.1]에 의하여 $\displaystyle f(x)=x^3$, $\displaystyle g(x)=3x^2-4$이고 접선의 방정식은 $\displaystyle y=12x-16$이다. 두 곡선의 교점을 구하면$\displaystyle x^3=3x^2-4,\ x^3-3x^2+4=(x-2)^2(x+1)=0$이므로 $\displaystyle x=-1,2$이다. 또 $\displaystyle -4\leqq x\leqq-1$일 때 $\displaystyle 12x-16\leqq x^3\leqq3x^2-4$이고, $\displaystyle -1\leqq x\leqq2$일 때 $\displaystyle 12x-16\leqq3x^2-4\leqq x^3$이다. 따라서 두 곡선과 접선으로 둘러싸인 영역의 넓이는$\displaystyle \begin{aligned}&\int_{-4}^{-1}(x^3-12x+16)\,dx+\int_{-1}^2(3x^2-4-12x+16)\,dx\\&=\Biggl[\frac14x^4-6x^2+16x\Biggr]_{-4}^{-1}+\Biggl[x^3-6x^2+12x\Biggr]_{-1}^2\\&=\frac{405}4\end{aligned}$이다.