자연계열 1-1번

[1.1] 로그의 성질을 이용하여 주어진 부등식을 정리하면$\displaystyle \begin{aligned}\sqrt{\log_3x\times\log_3 81x+4}+\sqrt{4\log_3x\times\log_3\frac{x}{3}+1}&=\sqrt{(\log_3x+2)^2}+\sqrt{(2\log_3x-1)^2}\\&=|\log_3x+2|+|2\log_3x-1|\leq4\end{aligned}$이다.

$\displaystyle \log_3x=t$로 놓으면, $\displaystyle |t+2|+|2t-1|\leq4$이다.(1) $\displaystyle t<-2$일 때, $\displaystyle -(t+2)-(2t-1)=-3t-1\leq4$에서 $\displaystyle t\geq-\frac53$이므로 만족하지 않는다.(2) $\displaystyle -2\leq t<\frac12$일 때, $\displaystyle (t+2)-(2t-1)=-t+3\leq4$에서 $\displaystyle t\geq-1$이므로 $\displaystyle -1\leq t<\frac12$이다.(3) $\displaystyle t\geq\frac12$일 때, $\displaystyle (t+2)+(2t-1)=3t+1\leq4$에서 $\displaystyle t\leq1$이므로 $\displaystyle \frac12\leq t\leq1$이다.따라서 (1), (2), (3)에 의해 $\displaystyle -1\leq t\leq1$이고,

구하고자 하는 해는 $\displaystyle \frac13\leq x\leq3$이다.