자연계열 1-2번

[1.2] $\displaystyle 4^a=X,4^b=Y$로 놓으면 $\displaystyle X-Y=240,XY=4096$이다.$\displaystyle Y^2+240Y-4096=(Y+256)(Y-16)=0$이므로 $\displaystyle Y=16,X=256$이다. 따라서 $\displaystyle 4^a=256,4^b=16$이고 $\displaystyle a=4,b=2$이므로 $\displaystyle \mathrm{P}(4,2)$이다.

$\displaystyle 2=4m+\frac23$에서 $\displaystyle m=\frac13$이므로 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac13x+\frac23$이고 $\displaystyle \mathrm{A}(-2,0)$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=2,\quad\overline{\mathrm{OP}}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5,\quad\overline{\mathrm{AP}}=\sqrt{\{4-(-2)\}^2+(2-0)^2}=2\sqrt{10}$

이므로 코사인법칙을 적용하면$\displaystyle \cos(\angle\mathrm{OPA})=\frac{\overline{\mathrm{AP}}^2+\overline{\mathrm{OP}}^2-\overline{\mathrm{OA}}^2}{2\times\overline{\mathrm{AP}}\times\overline{\mathrm{OP}}}=\frac{40+20-4}{2\times2\sqrt{10}\times2\sqrt5}=\frac{7\sqrt2}{10}$이다.