자연계열 2번

[2.1] $\displaystyle \sin\alpha=\sin\beta$이고 $\displaystyle 0<\alpha<\beta<\pi$이므로 $\displaystyle \alpha+\beta=\pi$이다.

$\displaystyle \sin(\alpha+2\beta)=\sin(\pi+\beta)=-\sin\beta=-\sin\alpha,\quad\cos(2\alpha+\beta)=\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$이므로 $\displaystyle 4\sin(\alpha+2\beta)=3\cos(2\alpha+\beta)$에서 $\displaystyle \tan\alpha=\frac34$이다. 따라서 $\displaystyle k=\sin\alpha=\frac35$이다.

[2.2] $\displaystyle y=\frac38x^2+3$에서 $\displaystyle y^{\prime}=\frac34x$이고, 점 P의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle t$라 하면 직선 $\displaystyle l$의 기울기는 $\displaystyle -\frac34$이므로 $\displaystyle \frac34t=-\frac34$, 즉, $\displaystyle t=-1$이다.

직선 $\displaystyle l$은 점 $\displaystyle \mathrm{P}\left(-1,\frac{27}{8}\right)$을 지나므로 직선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac34x+\frac{21}{8}$이고

$\displaystyle \mathrm{A}\left(\frac72,0\right)$, $\displaystyle \mathrm{B}\left(0,\frac{21}{8}\right)$이다. 직각삼각형 OAB의 각 변의 길이의 비는 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}:\overline{\mathrm{OB}}:\overline{\mathrm{AB}}=4:3:5$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\frac{35}{8}$이다. 따라서, 직각삼각형 OAB에 내접하는 원의 반지름의 길이는 $\displaystyle r=\frac{\frac72+\frac{21}{8}-\frac{35}{8}}2=\frac78$이다.

[2.3] 직각삼각형 OAB에 내접하는 원의 중심은 $\displaystyle \left(\frac78,\frac78\right)$이다. $\displaystyle b<0$이고 평행이동한 원은 $\displaystyle x$축에 접하므로 중심은 $\displaystyle \left(c,-\frac78\right)$이라 할 수 있고 $\displaystyle b=-2r=-\frac74$이다.

또 평행이동한 원은 직선 $\displaystyle l$에 접하므로 원의 중심 $\displaystyle \left(c,-\frac78\right)$에서 직선 $\displaystyle l:6x+8y-21=0$까지의 거리는 $\displaystyle r$와 같아야 한다. 따라서$\displaystyle \frac{\left|6c-8\times\frac78-21\right|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\frac{|6c-28|}{10}=\frac78$이므로 $\displaystyle c=\frac{49}{8}$, $\displaystyle \frac{77}{24}$이다. 이때 $\displaystyle a=c-r=\frac{21}{4}$, $\displaystyle \frac73$이므로 $\displaystyle 0<a<5$를 만족하는 $\displaystyle a=\frac73$이다.