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자연계열 3번

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서울과학기술대 2026학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2026su/jayeon_3

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문제

[문제 3] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오.

실수 a,b\displaystyle a,b에 대하여 함수 f(x)=x3+ax2+bx\displaystyle f(x)=x^3+ax^2+bx가 다음 두 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 x=α\displaystyle x=\alpha에서 극댓값을 갖고, x=β\displaystyle x=\beta에서 극솟값을 갖는다.

(나) 두 점 A(α,f(α)),B(β,f(β))\displaystyle \mathrm{A}(\alpha,f(\alpha)),\mathrm{B}(\beta,f(\beta))를 이은 선분 AB를 1:2\displaystyle 1:2로 내분하는 점은 P(0,−t3)\displaystyle \mathrm{P}(0,-t^3)이다.(단, t>0\displaystyle t>0)

[3.1] a,b\displaystyle a,b를 t\displaystyle t에 관한 식으로 각각 나타내시오.

[3.2] 문항 [3.1]에서 구한 a,b\displaystyle a,b에 대하여 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축 및 두 직선 x=α\displaystyle x=\alpha, x=β\displaystyle x=\beta로 둘러싸인 도형의 넓이 S(t)\displaystyle S(t)를 구하시오.

[3.3] 문항 [3.2]에서 구한 S(t)\displaystyle S(t)에 대하여 lim⁡t→∞S(t)tk\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{S(t)}{t^k}가 존재하게 하는 가장 작은 자연수 k\displaystyle k의 값과 이때의 극한값을 각각 구하시오.

해설강의 준비중

서울과학기술대 2026학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/seoultech/2026su/jayeon_3

+6점 · a=32α=−32t\displaystyle a=\frac32\alpha=-\frac32t이다.
+6점 · b=−6α2=−6t2\displaystyle b=-6\alpha^2=-6t^2이다.

[3.1] f′(x)=3x2+2ax+b=0\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2ax+b=0의 두 근이 α,β\displaystyle \alpha,\beta이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여α+β=−2a3,αβ=b3\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{2a}3,\quad\alpha\beta=\frac b3이다. 두 점 A(α,f(α))\displaystyle \mathrm{A}(\alpha,f(\alpha)), B(β,f(β))\displaystyle \mathrm{B}(\beta,f(\beta))를 이은 선분 AB를 1:2\displaystyle 1:2로 내분하는 점의 좌표가 (0,−t3)\displaystyle (0,-t^3)이므로β+2α3=0,f(β)+2f(α)3=−t3\displaystyle \frac{\beta+2\alpha}3=0,\quad\frac{f(\beta)+2f(\alpha)}3=-t^3이다. 따라서 β=−2α\displaystyle \beta=-2\alpha이고a=−32(α+β)=32α,b=3αβ=−6α2\displaystyle a=-\frac32(\alpha+\beta)=\frac32\alpha,\quad b=3\alpha\beta=-6\alpha^2이다. 또−t3=f(β)+2f(α)3=13{f(−2α)+2f(α)}=−2α3+2aα2=α3\displaystyle -t^3=\frac{f(\beta)+2f(\alpha)}3=\frac13\{f(-2\alpha)+2f(\alpha)\}=-2\alpha^3+2a\alpha^2=\alpha^3이므로 α=−t\displaystyle \alpha=-t이고a=32α=−32t,b=−6α2=−6t2\displaystyle a=\frac32\alpha=-\frac32t,\quad b=-6\alpha^2=-6t^2이다.

+6점

[3.2] f(x)=x3−32tx2−6t2x\displaystyle f(x)=x^3-\frac32tx^2-6t^2x이므로 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)는 원점을 지난다. 또 x=α=−t\displaystyle x=\alpha=-t에서 극댓값, x=β=2t\displaystyle x=\beta=2t에서 극솟값을 가지므로 닫힌구간 [−t,0]\displaystyle [-t,0]에서 f(x)≥0\displaystyle f(x)\geq0이고 닫힌구간 [0,2t]\displaystyle [0,2t]에서 f(x)≤0\displaystyle f(x)\leq0이다. 따라서S(t)=∫−t0f(x) dx+∫02t{−f(x)} dx\displaystyle S(t)=\int_{-t}^0f(x)\,dx+\int_0^{2t}\{-f(x)\}\,dx

+6점 · S(t)=574t4\displaystyle S(t)=\frac{57}4t^4

=[14x4−12tx3−3t2x2]−t0−[14x4−12tx3−3t2x2]02t=574t4\displaystyle =\Biggl[\frac14x^4-\frac12tx^3-3t^2x^2\Biggr]_{-t}^0-\Biggl[\frac14x^4-\frac12tx^3-3t^2x^2\Biggr]_0^{2t}=\frac{57}4t^4이다.

+3점 · 가장 작은 자연수 k\displaystyle k의 값은 4\displaystyle 4이고,

[3.3] S(t)=574t4\displaystyle S(t)=\frac{57}4t^4이므로lim⁡t→∞S(t)tk=lim⁡t→∞57t44tk\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{S(t)}{t^k}=\lim_{t\to\infty}\frac{57t^4}{4t^k}이 존재하게 하는 가장 작은 자연수 k\displaystyle k의 값은 4\displaystyle 4이고,

+3점

이때의 극한값은 lim⁡t→∞57t44t4=574\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{57t^4}{4t^4}=\frac{57}4이다.

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