자연계열 3번

[3.1] $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2ax+b=0$의 두 근이 $\displaystyle \alpha,\beta$이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여$\displaystyle \alpha+\beta=-\frac{2a}3,\quad\alpha\beta=\frac b3$이다. 두 점 $\displaystyle \mathrm{A}(\alpha,f(\alpha))$, $\displaystyle \mathrm{B}(\beta,f(\beta))$를 이은 선분 AB를 $\displaystyle 1:2$로 내분하는 점의 좌표가 $\displaystyle (0,-t^3)$이므로$\displaystyle \frac{\beta+2\alpha}3=0,\quad\frac{f(\beta)+2f(\alpha)}3=-t^3$이다. 따라서 $\displaystyle \beta=-2\alpha$이고$\displaystyle a=-\frac32(\alpha+\beta)=\frac32\alpha,\quad b=3\alpha\beta=-6\alpha^2$이다. 또$\displaystyle -t^3=\frac{f(\beta)+2f(\alpha)}3=\frac13\{f(-2\alpha)+2f(\alpha)\}=-2\alpha^3+2a\alpha^2=\alpha^3$이므로 $\displaystyle \alpha=-t$이고$\displaystyle a=\frac32\alpha=-\frac32t,\quad b=-6\alpha^2=-6t^2$이다.

[3.2] $\displaystyle f(x)=x^3-\frac32tx^2-6t^2x$이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 원점을 지난다. 또 $\displaystyle x=\alpha=-t$에서 극댓값, $\displaystyle x=\beta=2t$에서 극솟값을 가지므로 닫힌구간 $\displaystyle [-t,0]$에서 $\displaystyle f(x)\geq0$이고 닫힌구간 $\displaystyle [0,2t]$에서 $\displaystyle f(x)\leq0$이다. 따라서$\displaystyle S(t)=\int_{-t}^0f(x)\,dx+\int_0^{2t}\{-f(x)\}\,dx$

$\displaystyle =\Biggl[\frac14x^4-\frac12tx^3-3t^2x^2\Biggr]_{-t}^0-\Biggl[\frac14x^4-\frac12tx^3-3t^2x^2\Biggr]_0^{2t}=\frac{57}4t^4$이다.

[3.3] $\displaystyle S(t)=\frac{57}4t^4$이므로$\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{S(t)}{t^k}=\lim_{t\to\infty}\frac{57t^4}{4t^k}$이 존재하게 하는 가장 작은 자연수 $\displaystyle k$의 값은 $\displaystyle 4$이고,

이때의 극한값은 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}\frac{57t^4}{4t^4}=\frac{57}4$이다.