자연계열 1번

■ 1-1주어진 이차방정식의 판별식은$\displaystyle D=(\ln k)^2+4(\ln k+2)=(\ln k+2)^2+4>0$이므로 이차방정식은 항상 서로 다른 두 실근을 가진다. 또한 이차방정식의 근과 계수의 관계에서$\displaystyle \alpha+\beta=-\ln k,\alpha\beta=-(\ln k+2)$이다.

따라서 두 근 $\displaystyle \alpha,\beta$의 차의 제곱은$\displaystyle (\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=(\ln k)^2+4\ln k+8=(\ln k+2)^2+4$

이고, $\displaystyle \ln k=-2$, 즉 $\displaystyle k=e^{-2}=\frac1{e^2}$일 때, 최소이다.따라서 두 근의 차가 최소가 되는 실수 $\displaystyle k$의 값은 $\displaystyle k=e^{-2}=\frac1{e^2}$이다.

■ 1-2도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x(x+3k)+x^2-1=3x^2+6kx-1$이다.이차방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 판별식$\displaystyle D/4=9k^2+3>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$은 항상 서로 다른 두 실근을 가진다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 두 실근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ ($\displaystyle \alpha<\beta$)라고 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 근과 계수의 관계에서$\displaystyle \alpha+\beta=-2k$, $\displaystyle \alpha\beta=-\frac13$이다.

따라서$\displaystyle \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=4k^2+\frac23$,$\displaystyle \alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=-8k^3-2k$삼차함수 $\displaystyle f(x)$의 삼차항의 계수가 $\displaystyle 1$로 양수이고 $\displaystyle \alpha<\beta$이므로 $\displaystyle f(\alpha)$는 극댓값, $\displaystyle f(\beta)$ 극솟값이다.따라서$\displaystyle \begin{aligned}f(\alpha)+f(\beta)&=\alpha^3+\beta^3+3k(\alpha^2+\beta^2)-(\alpha+\beta)-6k\\&=-8k^3-2k+12k^3+2k+2k-6k\\&=4k^3-4k\end{aligned}$

여기서 $\displaystyle g(k)=4k^3-4k$라고 하면, $\displaystyle g^{\prime}(k)=4(3k^2-1)$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(k)=0$에서 $\displaystyle k=\pm\frac1{\sqrt3}$이다.

따라서 $\displaystyle k=-\frac1{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}$일 때 $\displaystyle f(\alpha)+f(\beta)$를 최대로 하고 최댓값은 $\displaystyle g\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)=\frac{8\sqrt3}{9}$이다.