자연계열 3번

■ 3-1$\displaystyle f(x)=x^{2n}+x^{2n-1}+\cdots+x^2+x-1$라 하자. $\displaystyle f(0)=-1<0$이다.

한편,$\displaystyle f(-2)=(-2)^{2n}+(-2)^{2n-1}+\cdots+(-2)^2+(-2)-1=\frac{(-2)^{2n+1}-(-2)}{-2-1}-1=\frac23\times4^n-\frac53$이고, $\displaystyle n$은 자연수이므로 $\displaystyle f(-2)\ge\frac23\times4-\frac53=1>0$이다. 또한 $\displaystyle f(1)=2n-1>0$이다.

사잇값의 정리에 의하여 방정식 $\displaystyle f(x)=0$은 $\displaystyle -2$와 $\displaystyle 0$사이에 적어도 하나의 실근을 갖고, $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 1$사이에 적어도 하나의 실근을 갖는다. 그러므로 열린구간 $\displaystyle (-2,1)$에서 적어도 두 개의 실근을 갖는다.

■ 3-2주어진 명제의 대우는‘열린구간 $\displaystyle (a,b)$의 어떤 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x)\le0$이면 방정식 $\displaystyle f(x)=0$은 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 실근을 갖는다.’이다.

조건에 의하여 $\displaystyle f(c)\le0$인 실수 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$ 사이에 존재한다.만약 $\displaystyle f(c)=0$이면 $\displaystyle x=c$는 방정식 $\displaystyle f(x)=0$의 근이다.

만약 $\displaystyle f(c)<0$이면

$\displaystyle f(a)>0$이므로 사잇값의 정리에 의하여 방정식 $\displaystyle f(x)=0$은 $\displaystyle a$와 $\displaystyle c$ 사이에 적어도 하나의 실근을 갖고 또한 $\displaystyle f(b)>0$이므로 $\displaystyle c$와 $\displaystyle b$ 사이에 적어도 하나의 실근을 갖는다. 따라서 방정식 $\displaystyle f(x)=0$은 열린구간 $\displaystyle (a,b)$에서 실근을 갖는다.