약학부 1번

■ 1-1주어진 이차방정식의 판별식$\displaystyle D=e^{2k}-4e^k+4+8e^k-4=e^{2k}+4e^k>0$이므로 이차방정식은 항상 서로 다른 두 실근을 가진다. 또한 이차방정식의 근과 계수의 관계에서$\displaystyle \alpha+\beta=e^k-2$, $\displaystyle \alpha\beta=1-2e^k$이다.

따라서$\displaystyle \alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=(e^k-2)^3-3(1-2e^k)(e^k-2)\qquad\cdots\cdots\text{①}$

이다. 이때 $\displaystyle t=e^k$ ($\displaystyle t>0$)라고 두고, $\displaystyle f(t)=(t-2)^3-3(1-2t)(t-2)$라 하자.$\displaystyle f^{\prime}(t)=3(t-2)^2+6(t-2)-3(1-2t)=3t^2-3=3(t+1)(t-1)$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(t)=0$에서 $\displaystyle t=\pm1$이다.

따라서 $\displaystyle t=1$, 즉 $\displaystyle k=0$일 때, $\displaystyle \alpha^3+\beta^3$의 최솟값은 $\displaystyle f(1)=-4$이다.

■ 1-2도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x(x+3k)+x^2-1=3x^2+6kx-1$이다.이차방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 판별식$\displaystyle D/4=9k^2+3>0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$은 항상 서로 다른 두 실근을 가진다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 두 실근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$ ($\displaystyle \alpha<\beta$)라고 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 근과 계수의 관계에서$\displaystyle \alpha+\beta=-2k$, $\displaystyle \alpha\beta=-\frac13$이다.

따라서$\displaystyle \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=4k^2+\frac23$,$\displaystyle \alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=-8k^3-2k$삼차함수 $\displaystyle f(x)$의 삼차항의 계수가 $\displaystyle 1$로 양수이고 $\displaystyle \alpha<\beta$이므로 $\displaystyle f(\alpha)$는 극댓값, $\displaystyle f(\beta)$는 극솟값이다.따라서$\displaystyle \begin{aligned}f(\alpha)+f(\beta)&=\alpha^3+\beta^3+3k(\alpha^2+\beta^2)-(\alpha+\beta)-6k\\&=-8k^3-2k+12k^3+2k+2k-6k\\&=4k^3-4k\end{aligned}$

여기서 $\displaystyle g(k)=4k^3-4k$라고 하면, $\displaystyle g^{\prime}(k)=4(3k^2-1)$이므로 $\displaystyle g^{\prime}(k)=0$에서 $\displaystyle k=\pm\frac1{\sqrt3}$이다.

따라서 $\displaystyle k=\sqrt3$일 때 $\displaystyle f(\alpha)+f(\beta)$를 최대로 하고 최댓값은 $\displaystyle g(\sqrt3)=8\sqrt3$이다.