자연계열 1번

<가>이차방정식 $\displaystyle ax^2+bx+c=0$의 두 근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$라 하면$\displaystyle \alpha+\beta=-\frac ba$, $\displaystyle \alpha\beta=\frac ca$이다.

<나>삼차방정식 $\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=0$의 세 근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \gamma$라 하면$\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$이다. 우변을 전개하여 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=ax^3-a(\alpha+\beta+\gamma)x^2+a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-a\alpha\beta\gamma$$\displaystyle a\ne0$이므로 양변을 $\displaystyle a$로 나누면$\displaystyle x^3+\frac bax^2+\frac cax+\frac da=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma$이고 이 등식은 $\displaystyle x$에 관한 항등식이므로 양변에 있는 동류항의 계수를 비교하면$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=-\frac ba$, $\displaystyle \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac ca$, $\displaystyle \alpha\beta\gamma=-\frac da$이다. 이를 정리하면 다음과 같은 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 알 수 있다.삼차방정식 $\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=0$의 세 근을 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \gamma$라 하면$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=-\frac ba$, $\displaystyle \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac ca$, $\displaystyle \alpha\beta\gamma=-\frac da$이다.