자연계열 1번

■ 1-1.점 $\displaystyle (a,b)$가 원점을 중심으로 하고 반지름이 $\displaystyle 2$인 원 위의 점이므로 $\displaystyle a^2+b^2=4$를 만족시킨다.

$\displaystyle a+b=t$라고 하면 $\displaystyle (a+b)^2=a^2+b^2+2ab$로부터 $\displaystyle t^2=4+2ab$이고 $\displaystyle ab=\frac{t^2-4}{2}$이다. $\displaystyle a,b$는 이차방정식$\displaystyle x^2-(a+b)x+ab=x^2-tx+\frac{t^2-4}{2}=0$의 두 실근이다.

이차방정식이 두 실근을 가지므로 판별식 $\displaystyle D=t^2-\frac{4(t^2-4)}2=-t^2+8\ge0$이다. $\displaystyle t$에 대한 이차부등식을 풀면 $\displaystyle -2\sqrt2\le t\le2\sqrt2$이다. 따라서 $\displaystyle a+b$의 범위는 $\displaystyle -2\sqrt2\le a+b\le2\sqrt2$이다.

■ 1-2.삼차방정식의 근과 계수의 관계로부터$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=(2+\sqrt2)t$, $\displaystyle \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=(1+2\sqrt2)t^2$, $\displaystyle \alpha\beta\gamma=\sqrt2$이다.

점 $\displaystyle (\alpha,\beta)$가 원점을 중심으로 하고 반지름이 $\displaystyle \gamma(>0)$인 원 위의 점이므로 $\displaystyle \alpha^2+\beta^2=\gamma^2$을 만족시킨다.

한편 다항식의 곱셈 공식을 이용하면$\displaystyle \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=\{(2+\sqrt2)t\}^2-2(1+2\sqrt2)t^2=4t^2$이다. 따라서 $\displaystyle 2\gamma^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=4t^2$이고 $\displaystyle \gamma$와 $\displaystyle t$가 모두 양의 실수이므로 $\displaystyle \gamma=\sqrt2t$이다. 그러므로 $\displaystyle \alpha+\beta=(2+\sqrt2)t-\gamma=2t$이고 $\displaystyle \alpha\beta=(1+2\sqrt2)t^2-\gamma(\alpha+\beta)=t^2$이다.

$\displaystyle \alpha,\beta$는 $\displaystyle X$에 대한 이차방정식 $\displaystyle X^2-2tX+t^2=0$의 두 근이다. 따라서, $\displaystyle \alpha=t$이고 $\displaystyle \beta=t$이다. 따라서 $\displaystyle \sqrt2=\alpha\beta\gamma=\sqrt2t^3$이고 이를 정리하면 $\displaystyle t^3-1=0$이다. $\displaystyle t$는 양의 실수이므로 $\displaystyle t=1$이다.