약학부 3번

■ 3-1.절댓값을 포함하지 않는 식으로 나타내기 위해 다음의 두 가지 경우로 나누어 생각한다.(i) $\displaystyle y\ge2x$인 경우(ii) $\displaystyle y<2x$인 경우(i) $\displaystyle y\ge2x$이면 주어진 식은 다음과 같다.$\displaystyle 3(y-2x)+2x^2=8$

$\displaystyle x$에 관해 정리하면,Correction. “$\displaystyle x$에 관해 정리하면”은 “$\displaystyle y$에 관해 정리하면”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}y&=-\frac23x^2+2x+\frac83\\&=-\frac23\left(x-\frac32\right)^2+\frac{25}{6}\end{aligned}$을 얻는다.

(ii) $\displaystyle y<2x$이면 주어진 식은 다음과 같다.$\displaystyle -3(y-2x)+2x^2=8$

같은 방식으로 정리하면,$\displaystyle \begin{aligned}y&=\frac23x^2+2x-\frac83\\&=\frac23\left(x+\frac32\right)^2-\frac{25}{6}\end{aligned}$(i)와 (ii)를 이용하면 주어진 곡선의 모양은 다음과 같다.

■ 3-2.위 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 $\displaystyle S$라 하자. 이 영역은 원점 대칭이므로 $\displaystyle y\ge0$을 만족하는 도형의 넓이는 $\displaystyle \frac S2$가 된다. 또한 $\displaystyle y=2x$에 의해 이등분된다.

그러므로 구하고자 하는 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle \frac S2=\int_{-2}^2\left(-\frac23x^2+2x+\frac83-2x\right)\,dx=\frac{64}{9}$