수리논술, 이게 다다.

약학부 3번

오류 제보

숙명여대 2026학년도 모의 약학부 3번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2026mo/yakhak_3

이전 문제
배점미공개
예상 소요 시간미공개

문제

<마>절댓값을 포함한 함수의 그래프는 다음과 같이 절댓값을 포함하지 않는 함수로 나타낼 수 있다.y=∣x∣={x(x≥0)−x(x<0)\displaystyle y=|x|=\begin{cases}x&(x\ge0)\\-x&(x<0)\end{cases}

<바>두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]를 포함하는 열린구간에서 f(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\ge g(x)이고 연속이다. 두 곡선 y=f(x),y=g(x)\displaystyle y=f(x),y=g(x) 및 두 직선 x=a,x=b\displaystyle x=a,x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S는 다음과 같다.S=∫ab{f(x)−g(x)} dx\displaystyle S=\int_a^b\{f(x)-g(x)\}\,dx

제시문 <마>와 <바>를 읽고 다음 문제에 답하시오.

좌표평면에 다음 곡선3∣y−2x∣+2x2=8\displaystyle 3|y-2x|+2x^2=8이 주어져 있다.

3-1. 위 곡선을 좌표평면에 그리시오.

3-2. 위 곡선으로 둘러싸인 영역 중 y≥0\displaystyle y\ge0을 만족하는 도형의 넓이를 구하시오.

해설강의 준비중

숙명여대 2026학년도 모의 약학부 3번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2026mo/yakhak_3

1단계 · <3-1>에서 절댓값을 포함하지 않는 식으로 나타낼 수 있다.
2단계 · <3-1>에서 각각 경우에 대해서 이차함수의 그래프를 그릴 수 있다.
3단계 · <3-1>에서 이차함수와 직선의 교점을 구할 수 있다.

■ 3-1.절댓값을 포함하지 않는 식으로 나타내기 위해 다음의 두 가지 경우로 나누어 생각한다.(i) y≥2x\displaystyle y\ge2x인 경우(ii) y<2x\displaystyle y<2x인 경우(i) y≥2x\displaystyle y\ge2x이면 주어진 식은 다음과 같다.3(y−2x)+2x2=8\displaystyle 3(y-2x)+2x^2=8

x\displaystyle x에 관해 정리하면,Correction. “x\displaystyle x에 관해 정리하면”은 “y\displaystyle y에 관해 정리하면”의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.y=−23x2+2x+83=−23(x−32)2+256\displaystyle \begin{aligned}y&=-\frac23x^2+2x+\frac83\\&=-\frac23\left(x-\frac32\right)^2+\frac{25}{6}\end{aligned}을 얻는다.

(ii) y<2x\displaystyle y<2x이면 주어진 식은 다음과 같다.−3(y−2x)+2x2=8\displaystyle -3(y-2x)+2x^2=8

같은 방식으로 정리하면,y=23x2+2x−83=23(x+32)2−256\displaystyle \begin{aligned}y&=\frac23x^2+2x-\frac83\\&=\frac23\left(x+\frac32\right)^2-\frac{25}{6}\end{aligned}(i)와 (ii)를 이용하면 주어진 곡선의 모양은 다음과 같다.

두 포물선과 직선 y=2x 및 축과의 교점
4단계 · <3-2>에서 위 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 y=2x\displaystyle y=2x에 의해 이등분됨을 파악할 수 있다.

■ 3-2.위 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 S\displaystyle S라 하자. 이 영역은 원점 대칭이므로 y≥0\displaystyle y\ge0을 만족하는 도형의 넓이는 S2\displaystyle \frac S2가 된다. 또한 y=2x\displaystyle y=2x에 의해 이등분된다.

5단계 · <3-2>에서 두 함수로 둘러싸인 도형의 넓이를 적분으로 나타낼 수 있다.
6단계 · <3-2>에서 이차함수의 적분을 계산할 수 있다.

그러므로 구하고자 하는 넓이는 다음과 같다.S2=∫−22(−23x2+2x+83−2x) dx=649\displaystyle \frac S2=\int_{-2}^2\left(-\frac23x^2+2x+\frac83-2x\right)\,dx=\frac{64}{9}

참고: 대칭성을 사용하지 않고 다음과 같이 직접 계산을 통해 답을 구할 수도 있다.S2=∫−11(−23x2+2x+83) dx+∫12{(−23x2+2x+83)−(23x2+2x−83)} dx=649\displaystyle \begin{aligned}\frac S2&=\int_{-1}^1\left(-\frac23x^2+2x+\frac83\right)\,dx+\int_1^2\left\{\left(-\frac23x^2+2x+\frac83\right)-\left(\frac23x^2+2x-\frac83\right)\right\}\,dx\\&=\frac{64}{9}\end{aligned}

등급기준
1등급위의 6가지 기준을 모두 충족시키고 논리 전개가 완벽한 경우
2등급위의 6가지 기준을 모두 충족하나 논리 전개나 표현력이 다소 떨어지는 경우
3등급위의 6가지 기준 중 5가지 요건을 만족하는 경우
4등급위의 6가지 기준 중 ③과 ⑥ 요건을 충족시키고 나머지 요건 중 2가지를 만족시키는 경우
5등급위의 6가지 기준 중 4가지 요건을 만족하는 경우(4등급 기준 제외)
6등급위의 6가지 기준 중 3가지 요건을 만족하는 경우
7등급위의 6가지 기준 중 2가지 요건을 만족하는 경우
8등급위의 6가지 기준 중 1가지 요건을 만족하는 경우
9등급위의 6가지 기준을 전혀 충족시키지 못한 경우

각 세부 문제별로 다음과 같은 기준을 만족시켜야 한다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.