자연계열 2번

<다>함수 $\displaystyle f(x)$의 한 부정적분을 $\displaystyle F(x)$라 하고, 미분가능한 함수 $\displaystyle g(t)$에 대하여 $\displaystyle x=g(t)$로 놓으면$\displaystyle F(x)=F(g(t))$이다. 이때 $\displaystyle F(x)$를 $\displaystyle t$에 대하여 미분하면$\displaystyle \frac d{dt}F(x)=\frac d{dx}F(x)\times\frac{dx}{dt}=f(x)g^{\prime}(t)=f(g(t))g^{\prime}(t)$이므로$\displaystyle F(x)+C=\int f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$이다. 이때 $\displaystyle F(x)+C=\int f(x)\,dx$이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$이와 같이 한 변수를 다른 변수로 바꾸어 적분하는 방법을 치환적분법이라고 한다.

<라>닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$의 한 부정적분을 $\displaystyle F(x)$라고 하면$\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$이다. 여기서 미분가능한 함수 $\displaystyle g(t)$에 대하여 $\displaystyle x=g(t)$로 놓으면 치환적분법에 따라$\displaystyle \int f(x)\,dx=\int f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt=F(g(t))+C$가 성립한다. 이때 $\displaystyle g(t)$의 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(t)$가 $\displaystyle a=g(\alpha)$, $\displaystyle b=g(\beta)$일 때, $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \beta$를 포함하는 구간에서 연속이면$\displaystyle \int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt=\Biggl[F(g(t))\Biggr]_\alpha^\beta=F(g(\beta))-F(g(\alpha))=F(b)-F(a)$이다. 따라서 다음이 성립한다.$\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt$