자연계열 2번

■ 2-1.$\displaystyle a+b-x=t$, 즉 $\displaystyle x=a+b-t$로 놓으면 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=-1$이다.

$\displaystyle x=a$일 때 $\displaystyle t=b$이고 $\displaystyle x=b$일 때 $\displaystyle t=a$이므로$\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_b^af(a+b-t)(-1)\,dt=\int_a^bf(a+b-t)\,dt$이다.

■ 2-2.로그함수 $\displaystyle \ln x$는 $\displaystyle x>0$일 때 연속이므로, 닫힌구간 $\displaystyle [-24,26]$에서 $\displaystyle \ln(x+25)$와 $\displaystyle \ln(27-x)$는 모두 연속이다. 이 구간에서 두 함수 모두 $\displaystyle 0$ 이상의 값을 가지므로 $\displaystyle \sqrt{\ln(x+25)}$와 $\displaystyle \sqrt{\ln(27-x)}$, 모두 연속이다. 또한 $\displaystyle \ln(x+25)$와 $\displaystyle \ln(27-x)$는 동시에 $\displaystyle 0$의 값을 가질 수 없으므로 피적분함수$\displaystyle \frac{\sqrt{\ln(x+25)}}{\sqrt{\ln(x+25)}+\sqrt{\ln(27-x)}}$이 적분구간 $\displaystyle [-24,26]$에서 연속임을 알 수 있다.

이제 우리가 구하고자 하는 적분의 값을 $\displaystyle I$라 하자. 즉,$\displaystyle I=\int_{-24}^{26}\frac{\sqrt{\ln(x+25)}}{\sqrt{\ln(x+25)}+\sqrt{\ln(27-x)}}\,dx\qquad(1)$

문제 2-1에서 주어진 적분식을 이용하면 $\displaystyle I$를 다음과 같이 표현할 수 있음을 알 수 있다.$\displaystyle I=\int_{-24}^{26}\frac{\sqrt{\ln(27-x)}}{\sqrt{\ln(x+25)}+\sqrt{\ln(27-x)}}\,dx\qquad(2)$

식 (1)과 (2)의 양변을 서로 더하면 다음과 같다.$\displaystyle 2I=\int_{-24}^{26}\frac{\sqrt{\ln(x+25)}}{\sqrt{\ln(x+25)}+\sqrt{\ln(27-x)}}\,dx+\int_{-24}^{26}\frac{\sqrt{\ln(27-x)}}{\sqrt{\ln(x+25)}+\sqrt{\ln(27-x)}}\,dx$여기에서 식의 우변을 계산하면$\displaystyle \text{우변}=\int_{-24}^{26}\frac{\sqrt{\ln(x+25)}+\sqrt{\ln(27-x)}}{\sqrt{\ln(x+25)}+\sqrt{\ln(27-x)}}\,dx=\int_{-24}^{26}1\,dx=50$즉 $\displaystyle 2I=50$이고, 이는 $\displaystyle I=25$임을 의미한다.