약학부 2번

■ 2-1.부분적분을 이용하면 자연수 $\displaystyle n$에 대해서,$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1x^n(1-x)^n\,dx&=\Biggl[\frac1{n+1}x^{n+1}(1-x)^n\Biggr]_0^1+\frac n{n+1}\int_0^1x^{n+1}(1-x)^{n-1}\,dx\\&=\frac n{n+1}\int_0^1x^{n+1}(1-x)^{n-1}\,dx\end{aligned}$이므로 $\displaystyle b_n=n/(n+1)$이다.

여기서, 우변의 $\displaystyle \frac n{n+1}$의 분모는 좌변의 피적분함수의 $\displaystyle x$의 지수에 $\displaystyle 1$을 더한 값이고 분자는 $\displaystyle (1-x)$의 지수이다. 또한, 부분적분을 거듭할수록 $\displaystyle x$의 지수는 $\displaystyle 1$씩 증가하고 $\displaystyle 1-x$의 지수는 $\displaystyle 1$씩 감소한다. 즉, $\displaystyle n-1\ge k$인 $\displaystyle k$에 대해,$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1x^{n+k}(1-x)^{n-k}\,dx&=\Biggl[\frac1{n+k+1}x^{n+k+1}(1-x)^{n-k}\Biggr]_0^1+\frac{n-k}{n+k+1}\int_0^1x^{n+k+1}(1-x)^{n-(k+1)}\\&=\frac{n-k}{n+k+1}\int_0^1x^{n+k+1}(1-x)^{n-(k+1)}\,dx\end{aligned}$Correction. 부분적분을 일반화한 식의 첫째 줄에서 마지막 적분에 $\displaystyle dx$가 빠져 있다. 다음 줄에는 올바르게 적혀 있다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.가 성립한다.

우변 피적분함수의 $\displaystyle 1-x$의 지수가 $\displaystyle 0$이 될 때까지 부분적분을 반복하면$\displaystyle a_n=\int_0^1x^n(1-x)^n\,dx=\frac n{n+1}\frac{n-1}{n+2}\cdots\frac1{2n}\int_0^1x^{2n}(1-x)^0\,dx=\frac{n!}{(2n+1)(2n)\cdots(n+1)}$가 된다. 즉,$\displaystyle a_n=\frac{n!}{(2n+1)(2n)\cdots(n+1)}=\frac{n!n!}{(2n+1)!}$이므로 $\displaystyle c_n=\frac1{(2n+1)\cdots(n+1)}=\frac{n!}{(2n+1)!}$이다.

■ 2-2.$\displaystyle x^n(1-x)^n$의 꼴이 $\displaystyle (1-y^2)^n=(1+y)(1-y)^n$의 꼴로 표시되기 위해서는 $\displaystyle x=\frac{1+y}{2}$ 또는 $\displaystyle y=2x-1$의 형태로 치환해야 한다. 이때 $\displaystyle y$에 대한 적분구간은 $\displaystyle [-1,1]$이 된다.Correction. 첫 번째 인수 $\displaystyle (1+y)$는 $\displaystyle (1+y)^n$의 오기이다. 올바른 식은 다음과 같으며, 이어지는 적분식에는 지수가 올바르게 적혀 있다.$\displaystyle (1-y^2)^n=(1+y)^n(1-y)^n$ 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

그러므로$\displaystyle a_n=\int_{-1}^1\left(\frac{1+y}{2}\right)^n\left(\frac{1-y}{2}\right)^n\frac12\,dy=\frac1{2^{2n+1}}\int_{-1}^1(1-y^2)^n\,dy$이다.

한편, $\displaystyle (1-y^2)^n$은 우함수이므로$\displaystyle a_n=\frac1{2^{2n+1}}\int_{-1}^1(1-y^2)^n\,dy=\frac1{2^{2n}}\int_0^1(1-y^2)^n\,dy$가 되며 $\displaystyle d_n=\frac1{2^{2n}}$이다.