자연계열 3번

■ 3-1.$\displaystyle y=x^3-5x^2+x+8$에서 $\displaystyle y^{\prime}=3x^2-10x+1$이다.

따라서 곡선 위의 점 $\displaystyle (a,a^3-5a^2+a+8)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-(a^3-5a^2+a+8)=(3a^2-10a+1)(x-a)$이다.

이 직선이 점 $\displaystyle A(-3,5)$를 지나므로 $\displaystyle 5-(a^3-5a^2+a+8)=(3a^2-10a+1)(-3-a)$이다. 이 식을 정리하면 $\displaystyle 2a(a+5)(a-3)=0$이다. 그러므로 $\displaystyle a=-5,0,3$이다. 각각의 $\displaystyle a$에 대한 직선의 방정식을 구하면$\displaystyle a=-5$일 때 $\displaystyle y=126x+383$,$\displaystyle a=0$일 때 $\displaystyle y=x+8$,$\displaystyle a=3$일 때 $\displaystyle y=-2x-1$이다.

■ 3-2.직선 $\displaystyle L_1$은 $\displaystyle y=-2x-1$이고 직선 $\displaystyle L_2$는 $\displaystyle y=x+8$이다. 아래 그림에서 빨간색 직선이 $\displaystyle L_1$이고 녹색 직선이 $\displaystyle L_2$이다.

따라서 구하는 면적을 $\displaystyle S$라 하면 $\displaystyle S$는 삼각형 $\displaystyle ACD$의 면적과 닫힌구간 $\displaystyle [0,3]$에서 곡선 $\displaystyle y=x^3-5x^2+x+8$과 세 직선 $\displaystyle y=-2x-1$, $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=3$로 둘러싸인 도형의 넓이를 합한 것과 같다.

그러므로$\displaystyle \begin{aligned}S&=\frac12\times3\times9+\int_0^3(x^3-5x^2+x+8)-(-2x-1)\,dx\\&=\frac{27}{2}+\Biggl[\frac14x^4-\frac53x^3+\frac32x^2+9x\Biggr]_0^3=\frac{117}{4}\end{aligned}$이다.