자연계열 3번

숙명여대 2026학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2026mo/jayeon_3

<마>곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (a,f(a))$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$ 이다.

<바>두 함수 $\displaystyle f(x)$ 와 $\displaystyle g(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속일 때, 두 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ , $\displaystyle y=g(x)$ 및 두 직선 $\displaystyle x=a$ , $\displaystyle x=b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$ 는 다음과 같다. $\displaystyle S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx$

제시문 <마>와 <바>를 읽고 다음 문제에 답하시오.

3-1. 점 $\displaystyle A(-3,5)$ 를 지나고 곡선 $\displaystyle y=x^3-5x^2+x+8$ 에 접하는 세 직선을 구하시오.

3-2. 위의 세 직선을 기울기가 작은 순서대로 정리하여 각각 $\displaystyle L_1,L_2,L_3$ 이라고 하자. 두 직선 $\displaystyle L_1,L_2$ 가 접하는 접점을 각각 $\displaystyle B,C$ 라고 할 때, 이 곡선 위의 점 $\displaystyle B$ 에서 점 $\displaystyle C$ 까지의 부분과 선분 $\displaystyle AB$ , $\displaystyle AC$ 로 둘러싸인 도형의 면적을 구하시오.

해설강의 준비중

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1단계 · <3-1>에서 삼차함수의 도함수를 구할 수 있다.

■ 3-1. $\displaystyle y=x^3-5x^2+x+8$ 에서 $\displaystyle y^{\prime}=3x^2-10x+1$ 이다.

2단계 · <3-1>에서 곡선 위의 점

\displaystyle (a,a^3-5a^2+a+8)

에서의 접선의 방정식을

\displaystyle y-(a^3-5a^2+a+8)=(3a^2-10a+1)(x-a)

으로 나타낼 수 있다.

따라서 곡선 위의 점 $\displaystyle (a,a^3-5a^2+a+8)$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-(a^3-5a^2+a+8)=(3a^2-10a+1)(x-a)$ 이다.

3단계 · <3-1>에서 삼차방정식을 풀고 접선의 방정식을 구할 수 있다.

이 직선이 점 $\displaystyle A(-3,5)$ 를 지나므로 $\displaystyle 5-(a^3-5a^2+a+8)=(3a^2-10a+1)(-3-a)$ 이다. 이 식을 정리하면 $\displaystyle 2a(a+5)(a-3)=0$ 이다. 그러므로 $\displaystyle a=-5,0,3$ 이다. 각각의 $\displaystyle a$ 에 대한 직선의 방정식을 구하면 $\displaystyle a=-5$ 일 때 $\displaystyle y=126x+383$ , $\displaystyle a=0$ 일 때 $\displaystyle y=x+8$ , $\displaystyle a=3$ 일 때 $\displaystyle y=-2x-1$ 이다.

4단계 · <3-2>에서 구하고자 하는 도형을 그릴 수 있다.

■ 3-2.직선 $\displaystyle L_1$ 은 $\displaystyle y=-2x-1$ 이고 직선 $\displaystyle L_2$ 는 $\displaystyle y=x+8$ 이다. 아래 그림에서 빨간색 직선이 $\displaystyle L_1$ 이고 녹색 직선이 $\displaystyle L_2$ 이다.

5단계 · <3-2>에서 두 함수로 둘러싸인 영역의 넓이를 적분으로 표시할 수 있다.

6단계 · <3-2>에서 적분구간을 나누어 계산할 수 있다.

따라서 구하는 면적을 $\displaystyle S$ 라 하면 $\displaystyle S$ 는 삼각형 $\displaystyle ACD$ 의 면적과 닫힌구간 $\displaystyle [0,3]$ 에서 곡선 $\displaystyle y=x^3-5x^2+x+8$ 과 세 직선 $\displaystyle y=-2x-1$ , $\displaystyle x=0$ , $\displaystyle x=3$ 로 둘러싸인 도형의 넓이를 합한 것과 같다.

그러므로 $\displaystyle \begin{aligned}S&=\frac12\times3\times9+\int_0^3(x^3-5x^2+x+8)-(-2x-1)\,dx\\&=\frac{27}{2}+\Biggl[\frac14x^4-\frac53x^3+\frac32x^2+9x\Biggr]_0^3=\frac{117}{4}\end{aligned}$ 이다.

등급	기준
1등급	위의 6가지 기준을 모두 충족시키고 논리 전개가 완벽한 경우
2등급	위의 6가지 기준을 모두 충족하나 논리 전개나 표현력이 다소 떨어지는 경우
3등급	위의 6가지 기준 중 5가지 요건을 만족하는 경우
4등급	위의 6가지 기준 중 ③과 ⑥ 요건을 충족시키고 나머지 요건 중 2가지를 만족시키는 경우
5등급	위의 6가지 기준 중 4가지 요건을 만족하는 경우(4등급 기준 제외)
6등급	위의 6가지 기준 중 3가지 요건을 만족하는 경우
7등급	위의 6가지 기준 중 2가지 요건을 만족하는 경우
8등급	위의 6가지 기준 중 1가지 요건을 만족하는 경우
9등급	위의 6가지 기준을 전혀 충족시키지 못한 경우

각 세부 문제별로 다음과 같은 기준을 만족시켜야 한다.

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