자연계열 1번

1-1.$\displaystyle f(x)=x^2+a-\sqrt{x+1}$라고 하면 $\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [1,3]$에서 연속이다.

제시문 <가>(사잇값 정리)에 의해 $\displaystyle f(1)f(3)<0$이면 $\displaystyle f(c)=0$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (1,3)$에 적어도 하나 존재한다. 즉, 이차함수 $\displaystyle y=x^2+a$와 무리함수 $\displaystyle y=\sqrt{x+1}$이 열린구간 $\displaystyle (1,3)$에서 만난다.

$\displaystyle f(1)=a+1-\sqrt2$이고 $\displaystyle f(3)=a+7$이므로 $\displaystyle f(1)f(3)<0$에 대입하면 다음을 얻을 수 있다.$\displaystyle (a+1-\sqrt2)(a+7)<0$그러므로 실수 $\displaystyle a$의 값의 범위는 $\displaystyle -7<a<\sqrt2-1$이다.참고로 열린구간 $\displaystyle (1,3)$에서 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 다음을 만족시킨다.$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=2x-\frac1{2\sqrt{x+1}}\\&=\frac{4x\sqrt{x+1}-1}{2\sqrt{x+1}}>0\end{aligned}$따라서 다음이 성립함을 알 수 있다.$\displaystyle f(1)<0, f(3)>0$

1-2.귀류법을 사용하기 위해 $\displaystyle f(c_1)=2c_1$이고 $\displaystyle f(c_2)=2c_2$인 서로 다른 $\displaystyle c_1,c_2$가 구간 $\displaystyle [0,1]$에 존재한다고 가정하자. 여기서 $\displaystyle c_1\ne c_2$이므로 $\displaystyle c_1<c_2$라고 하자.

함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [c_1,c_2]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (c_1,c_2)$에서 미분가능하므로 제시문 <나>(평균값 정리)에 의해$\displaystyle \frac{f(c_2)-f(c_1)}{c_2-c_1}=f^{\prime}(c)$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (c_1,c_2)$에서 적어도 하나 존재한다. 위의 식으로부터 다음을 얻을 수 있다.$\displaystyle f^{\prime}(c)=\frac{f(c_2)-f(c_1)}{c_2-c_1}=\frac{2c_2-2c_1}{c_2-c_1}=2$

그런데 $\displaystyle c$는 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에 있고 $\displaystyle f^{\prime}(c)=2$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$가 열린구간 $\displaystyle (0,1)$에 있는 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle |f^{\prime}(x)|<1$이라는 사실에 모순이다. 그러므로 $\displaystyle f(c)=2c$인 $\displaystyle c$의 개수가 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서 하나 이하로 존재한다.