자연계열 3번

3-1.도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2$는 $\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0$을 만족시킨다. 그러므로 제시문 <사>에 따르면 $\displaystyle f(x)$는 역함수를 갖는다.

문제에서 $\displaystyle f^{-1}(t^2+5t+1)=t-1$이므로 $\displaystyle t^2+5t+1=f(t-1)$이 성립한다. 여기에서 우변의 $\displaystyle f(t-1)$을 주어진 $\displaystyle f(x)$를 이용하여 계산하면$\displaystyle f(t-1)=t^3-3t^2+5t+1$를 얻는다. 그러므로$\displaystyle t^3-3t^2+5t+1=t^2+5t+1$

이 되고, 이것을 풀면 $\displaystyle t^2(t-4)=0$이다. 그러므로 $\displaystyle t=0$ 또는 $\displaystyle t=4$이다.

3-2.$\displaystyle f^{-1}(t^2+2)=a$, $\displaystyle f^{-1}(t^2-2)=b$라고 하면 $\displaystyle f(a)=t^2+2$, $\displaystyle f(b)=t^2-2$이다.

첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면$\displaystyle f(a)-f(b)=4$ (1)이다. 식 (1)의 좌변을 계산하면$\displaystyle \begin{aligned}f(a)-f(b)&=(a^3+2a+4)-(b^3+2b+4)\\&=a^3-b^3+2(a-b)\end{aligned}$ (2)이다.

한편 $\displaystyle f^{-1}(t^2+2)+f^{-1}(t^2-2)=0$은 $\displaystyle a+b=0$이다. 이를 식 (2)에 대입하면$\displaystyle \begin{aligned}f(a)-f(b)&=a^3-(-a)^3+2(a-(-a))\\&=2a^3+4a\end{aligned}$이다. 이것과 식 (1)로부터 $\displaystyle a^3+2a=2$를 얻는다. 그러므로$\displaystyle f(a)=a^3+2a+4=6$이다. 또한 $\displaystyle f(a)=t^2+2$이므로 $\displaystyle t^2=4$이다. 따라서 $\displaystyle t=\pm2$이다.