수리논술, 이게 다다.

자연계열 3번

오류 제보

숙명여대 2026학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2026su/jayeon_3

이전 문제
배점미공개
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

<바>함수 f:X→Y\displaystyle f:X\to Y가 일대일대응이면 Y\displaystyle Y의 각 원소 y\displaystyle y에 대하여 y=f(x)\displaystyle y=f(x)인 X\displaystyle X의 원소 x\displaystyle x가 오직 하나 존재한다. 이때 Y\displaystyle Y의 각 원소 y\displaystyle y에 y=f(x)\displaystyle y=f(x)인 X\displaystyle X의 원소 x\displaystyle x를 대응시키면 Y\displaystyle Y를 정의역, X\displaystyle X를 공역으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있다. 이 함수를 함수 f\displaystyle f의 역함수라 하고, 기호로f−1:Y→X\displaystyle f^{-1}:Y\to X, x=f−1(y)\displaystyle x=f^{-1}(y)와 같이 나타낸다.

<사>실수 전체의 집합에서 정의된 삼차함수 f(x)=ax3+bx2+cx+d\displaystyle f(x)=ax^3+bx^2+cx+d (a≠0\displaystyle a\ne0)가 역함수를 갖기 위한 조건은 다음과 같다.1. a>0\displaystyle a>0이면 도함수 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)가 실수 전체의 집합에서 f′(x)≥0\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0을 만족시킨다.2. a<0\displaystyle a<0이면 도함수 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)가 실수 전체의 집합에서 f′(x)≤0\displaystyle f^{\prime}(x)\le0을 만족시킨다.

제시문 <바>와 <사>를 읽고 다음 문제에 답하시오.

함수 f(x)=x3+2x+4\displaystyle f(x)=x^3+2x+4는 실수 전체의 집합에서 정의된 삼차함수이다.

3-1. 삼차함수 f(x)\displaystyle f(x)의 역함수가 존재함을 보이고, 역함수 f−1\displaystyle f^{-1}에 대하여 f−1(t2+5t+1)=t−1\displaystyle f^{-1}(t^2+5t+1)=t-1을 만족시키는 실수 t\displaystyle t의 값을 모두 구하시오.

3-2. 삼차함수 f(x)\displaystyle f(x)의 역함수 f−1\displaystyle f^{-1}에 대하여 f−1(t2+2)+f−1(t2−2)=0\displaystyle f^{-1}(t^2+2)+f^{-1}(t^2-2)=0을 만족시키는 실수 t\displaystyle t의 값을 모두 구하시오.

해설강의 준비중

숙명여대 2026학년도 수시 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2026su/jayeon_3

1단계 · <3-1>에서 도함수를 이용하여 역함수의 존재를 보일 수 있다.

3-1.도함수 f′(x)=3x2+2\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+2는 f′(x)≥0\displaystyle f^{\prime}(x)\ge0을 만족시킨다. 그러므로 제시문 <사>에 따르면 f(x)\displaystyle f(x)는 역함수를 갖는다.

2단계 · <3-1>에서 역함수를 이용하여 삼차방정식을 세울 수 있다.

문제에서 f−1(t2+5t+1)=t−1\displaystyle f^{-1}(t^2+5t+1)=t-1이므로 t2+5t+1=f(t−1)\displaystyle t^2+5t+1=f(t-1)이 성립한다. 여기에서 우변의 f(t−1)\displaystyle f(t-1)을 주어진 f(x)\displaystyle f(x)를 이용하여 계산하면f(t−1)=t3−3t2+5t+1\displaystyle f(t-1)=t^3-3t^2+5t+1를 얻는다. 그러므로t3−3t2+5t+1=t2+5t+1\displaystyle t^3-3t^2+5t+1=t^2+5t+1

3단계 · <3-1>에서 삼차방정식의 해를 구할 수 있다.

이 되고, 이것을 풀면 t2(t−4)=0\displaystyle t^2(t-4)=0이다. 그러므로 t=0\displaystyle t=0 또는 t=4\displaystyle t=4이다.

4단계 · <3-2>에서 역함수의 정의를 사용하여 f(y)=t2+2\displaystyle f(y)=t^2+2, f(z)=t2−2\displaystyle f(z)=t^2-2로 표현할 수 있다.

3-2.f−1(t2+2)=a\displaystyle f^{-1}(t^2+2)=a, f−1(t2−2)=b\displaystyle f^{-1}(t^2-2)=b라고 하면 f(a)=t2+2\displaystyle f(a)=t^2+2, f(b)=t2−2\displaystyle f(b)=t^2-2이다.

5단계 · <3-2>에서 f(y)−f(z)=4\displaystyle f(y)-f(z)=4를 구할 수 있다.

첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면f(a)−f(b)=4\displaystyle f(a)-f(b)=4 (1)이다. 식 (1)의 좌변을 계산하면f(a)−f(b)=(a3+2a+4)−(b3+2b+4)=a3−b3+2(a−b)\displaystyle \begin{aligned}f(a)-f(b)&=(a^3+2a+4)-(b^3+2b+4)\\&=a^3-b^3+2(a-b)\end{aligned} (2)이다.

6단계 · <3-2>에서 삼차방정식과 이차방정식을 풀 수 있다.

한편 f−1(t2+2)+f−1(t2−2)=0\displaystyle f^{-1}(t^2+2)+f^{-1}(t^2-2)=0은 a+b=0\displaystyle a+b=0이다. 이를 식 (2)에 대입하면f(a)−f(b)=a3−(−a)3+2(a−(−a))=2a3+4a\displaystyle \begin{aligned}f(a)-f(b)&=a^3-(-a)^3+2(a-(-a))\\&=2a^3+4a\end{aligned}이다. 이것과 식 (1)로부터 a3+2a=2\displaystyle a^3+2a=2를 얻는다. 그러므로f(a)=a3+2a+4=6\displaystyle f(a)=a^3+2a+4=6이다. 또한 f(a)=t2+2\displaystyle f(a)=t^2+2이므로 t2=4\displaystyle t^2=4이다. 따라서 t=±2\displaystyle t=\pm2이다.

채점 기준배점
위의 6가지 기준을 모두 충족시키고 논리 전개가 완벽한 경우1등급
위의 6가지 기준을 모두 충족하나 논리 전개나 표현력이 다소 떨어지는 경우2등급
위의 6가지 기준 중 5가지 요건을 만족하는 경우3등급
위의 6가지 기준 중 ③과 ⑥ 요건을 충족시키고 나머지 요건 중 2가지를 만족시키는 경우4등급
위의 6가지 기준 중 4가지 요건을 만족하는 경우(4등급 기준 제외)5등급
위의 6가지 기준 중 3가지 요건을 만족하는 경우6등급
위의 6가지 기준 중 2가지 요건을 만족하는 경우7등급
위의 6가지 기준 중 1가지 요건을 만족하는 경우8등급
위의 6가지 기준을 전혀 충족시키지 못한 경우9등급

각 세부 문제별로 다음과 같은 기준을 만족시켜야 한다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.