약학부 2번

2-1.$\displaystyle \sin\frac\pi6=\frac12$이므로, $\displaystyle 0\le x\le2\pi$일 때, 부등식 $\displaystyle \sin x\le\frac12$의 해는 아래 그림에서 표시된 것과 같이$\displaystyle \left\{x\,\middle|\,0\le x\le\frac\pi6\right\}\cup\left\{x\,\middle|\,\pi-\frac\pi6\le x\le2\pi\right\}$가 된다.

그러므로 $\displaystyle f(x)$의 정적분의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{\frac\pi6}e^{-x}\,dx+\int_{\frac{5\pi}{6}}^{2\pi}e^{-x}\,dx&=\Biggl[-e^{-x}\Biggr]_0^{\frac\pi6}+\Biggl[-e^{-x}\Biggr]_{\frac{5\pi}{6}}^{2\pi}\\&=1-e^{-\frac\pi6}+e^{-\frac{5\pi}{6}}-e^{-2\pi}\end{aligned}$

2-2.아래 그림에서 보는 것과 같이 $\displaystyle 0\le x\le100\pi$에서 $\displaystyle \sin x=-\frac12$을 만족시키는 첫 번째 $\displaystyle x$는 $\displaystyle \pi+\frac\pi6$이다. 사인함수는 주기가 $\displaystyle 2\pi$인 주기함수이므로 아래 그림에서 보는 것과 같이 $\displaystyle \sin x=-\frac12$을 만족시키는 홀수 번째 $\displaystyle x$의 값은$\displaystyle x=(2n-1)\pi+\frac\pi6$ ($\displaystyle n=1,2,\cdots,50$)이다. 마찬가지로 짝수 번째 $\displaystyle x$의 값은$\displaystyle x=2n\pi-\frac\pi6$ ($\displaystyle n=1,2,\cdots,50$)이다. 따라서$\displaystyle A_n=\left\{x\,\middle|\,(2n-1)\pi+\frac\pi6\le x\le2n\pi-\frac\pi6\right\}$이라고 하면, $\displaystyle 0\le x\le100\pi$일 때, 부등식 $\displaystyle \sin x\le-\frac12$의 해는 $\displaystyle A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_{50}$로 표시할 수 있다.

해당하는 $\displaystyle x$의 값의 범위에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$의 정적분의 값은 다음과 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^{50}\int_{(2n-1)\pi+\frac\pi6}^{2n\pi-\frac\pi6}e^{-x}\,dx&=\sum_{n=1}^{50}\Biggl[-e^{-x}\Biggr]_{(2n-1)\pi+\frac\pi6}^{2n\pi-\frac\pi6}\\&=\sum_{n=1}^{50}\left[e^{-\{(2n-1)\pi+\frac\pi6\}}-e^{-(2n\pi-\frac\pi6)}\right]\\&=\left(e^{\frac{5\pi}{6}}-e^{\frac\pi6}\right)\sum_{n=1}^{50}e^{-2n\pi}\end{aligned}$

여기서 $\displaystyle \sum_{n=1}^{50}e^{-2n\pi}$는 첫째항이 $\displaystyle e^{-2\pi}$, 공비가 $\displaystyle e^{-2\pi}$인 등비수열의 50항까지의 합이다. 제시문 <마>에 의해$\displaystyle \sum_{n=1}^{50}e^{-2n\pi}=\frac{e^{-2\pi}((e^{-2\pi})^{50}-1)}{e^{-2\pi}-1}=\frac{e^{-2\pi}(1-e^{-100\pi})}{1-e^{-2\pi}}$이다. 그러므로$\displaystyle k=\frac{e^{-2\pi}(1-e^{-100\pi})}{1-e^{-2\pi}}$이다.